Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58232 / 36138
↖ ↑ ↗
← N 62.540195°
W 20.061035°		 ← 140.81 m → N 62.540195°
W 20.058289°		 →
↑
140.86 m
↓
↑
140.86 m
↓
N 62.538928°
W 20.061035°		 ← 140.82 m →
19 835 m²		 N 62.538928°
W 20.058289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444278717041016 y=0.275714874267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444278717041016 × 217)
    floor (0.444278717041016 × 131072)
    floor (58232.5)     		tx = 58232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275714874267578 × 217)
    floor (0.275714874267578 × 131072)
    floor (36138.5)     		ty = 36138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58232 / 36138 ti = "17/58232/36138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58232/36138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58232 ÷ 217
    58232 ÷ 131072     		x = 0.44427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36138 ÷ 217
    36138 ÷ 131072     		y = 0.275711059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.1114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35013111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.275711059570312 × 2 - 1) × π
    0.448577880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.40924897503041
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35013111} λ = -0.35013111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40924897503041))-π/2
    2×atan(4.09288039413755)-π/2
    2×1.33116431730908-π/2
    2.66232863461815-1.57079632675     		φ = 1.09153231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35013111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.061035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09153231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.540195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58232 KachelY 36138 -0.35013111 1.09153231 -20.061035 62.540195
    Oben rechts KachelX + 1 58233 KachelY 36138 -0.35008318 1.09153231 -20.058289 62.540195
    Unten links KachelX 58232 KachelY + 1 36139 -0.35013111 1.09151020 -20.061035 62.538928
    Unten rechts KachelX + 1 58233 KachelY + 1 36139 -0.35008318 1.09151020 -20.058289 62.538928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09153231-1.09151020) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dl = 140.862809999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09153231-1.09151020) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dr = 140.862809999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35013111--0.35008318) × cos(1.09153231) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.461126237167988 × 6371000     		do = 140.810443867964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35013111--0.35008318) × cos(1.09151020) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.461145856022048 × 6371000     		du = 140.816434721067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09153231)-sin(1.09151020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461126237167988-0.461145856022048)×R²
    abs(-0.35008318--0.35013111)×1.96188540602105e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96188540602105e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96188540602105e-05×40589641000000     		ar = 19835.3767456492m²