Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58232 / 36136
↖ ↑ ↗
← N 62.542728°
W 20.061035°		 ← 140.80 m → N 62.542728°
W 20.058289°		 →
↑
140.86 m
↓
↑
140.86 m
↓
N 62.541461°
W 20.061035°		 ← 140.80 m →
19 834 m²		 N 62.541461°
W 20.058289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444278717041016 y=0.275699615478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444278717041016 × 217)
    floor (0.444278717041016 × 131072)
    floor (58232.5)     		tx = 58232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275699615478516 × 217)
    floor (0.275699615478516 × 131072)
    floor (36136.5)     		ty = 36136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58232 / 36136 ti = "17/58232/36136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58232/36136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58232 ÷ 217
    58232 ÷ 131072     		x = 0.44427490234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36136 ÷ 217
    36136 ÷ 131072     		y = 0.27569580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.1114501953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35013111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27569580078125 × 2 - 1) × π
    0.4486083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.40934484882965
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35013111} λ = -0.35013111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40934484882965))-π/2
    2×atan(4.09327281294181)-π/2
    2×1.33118642133107-π/2
    2.66237284266215-1.57079632675     		φ = 1.09157652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35013111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.061035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09157652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.542728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58232 KachelY 36136 -0.35013111 1.09157652 -20.061035 62.542728
    Oben rechts KachelX + 1 58233 KachelY 36136 -0.35008318 1.09157652 -20.058289 62.542728
    Unten links KachelX 58232 KachelY + 1 36137 -0.35013111 1.09155441 -20.061035 62.541461
    Unten rechts KachelX + 1 58233 KachelY + 1 36137 -0.35008318 1.09155441 -20.058289 62.541461
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09157652-1.09155441) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dl = 140.862809999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09157652-1.09155441) × R
    2.21099999999641e-05 × 6371000     		dr = 140.862809999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35013111--0.35008318) × cos(1.09157652) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.461087007657159 × 6371000     		do = 140.798464664902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35013111--0.35008318) × cos(1.09155441) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.461106626961952 × 6371000     		du = 140.804455655641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09157652)-sin(1.09155441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461087007657159-0.461106626961952)×R²
    abs(-0.35008318--0.35013111)×1.96193047937165e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96193047937165e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96193047937165e-05×40589641000000     		ar = 19833.6893311071m²