Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58231 / 36022
↖ ↑ ↗
← N 62.686749°
W 20.063782°		 ← 140.15 m → N 62.686749°
W 20.061035°		 →
↑
140.16 m
↓
↑
140.16 m
↓
N 62.685489°
W 20.063782°		 ← 140.15 m →
19 644 m²		 N 62.685489°
W 20.061035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444271087646484 y=0.274829864501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444271087646484 × 217)
    floor (0.444271087646484 × 131072)
    floor (58231.5)     		tx = 58231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274829864501953 × 217)
    floor (0.274829864501953 × 131072)
    floor (36022.5)     		ty = 36022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58231 / 36022 ti = "17/58231/36022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58231/36022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58231 ÷ 217
    58231 ÷ 131072     		x = 0.444267272949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36022 ÷ 217
    36022 ÷ 131072     		y = 0.274826049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444267272949219 × 2 - 1) × π
    -0.111465454101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35017905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274826049804688 × 2 - 1) × π
    0.450347900390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.41480965538634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35017905} λ = -0.35017905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41480965538634))-π/2
    2×atan(4.11570298951487)-π/2
    2×1.33244324588992-π/2
    2.66488649177985-1.57079632675     		φ = 1.09409017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35017905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.063782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09409017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.686749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58231 KachelY 36022 -0.35017905 1.09409017 -20.063782 62.686749
    Oben rechts KachelX + 1 58232 KachelY 36022 -0.35013111 1.09409017 -20.061035 62.686749
    Unten links KachelX 58231 KachelY + 1 36023 -0.35017905 1.09406817 -20.063782 62.685489
    Unten rechts KachelX + 1 58232 KachelY + 1 36023 -0.35013111 1.09406817 -20.061035 62.685489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09409017-1.09406817) × R
    2.20000000001885e-05 × 6371000     		dl = 140.162000001201m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09409017-1.09406817) × R
    2.20000000001885e-05 × 6371000     		dr = 140.162000001201m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35017905--0.35013111) × cos(1.09409017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458855053613163 × 6371000     		do = 140.146144302448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35017905--0.35013111) × cos(1.09406817) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.458874600747123 × 6371000     		du = 140.152114500303m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09409017)-sin(1.09406817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458855053613163-0.458874600747123)×R²
    abs(-0.35013111--0.35017905)×1.95471339597408e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.95471339597408e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.95471339597408e-05×40589641000000     		ar = 19643.5822762607m²