Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58230 / 86382
↖ ↑ ↗
← S 49.578664°
W 20.066528°		 ← 198.04 m → S 49.578664°
W 20.063782°		 →
↑
198.01 m
↓
↑
198.01 m
↓
S 49.580445°
W 20.066528°		 ← 198.03 m →
39 213 m²		 S 49.580445°
W 20.063782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86382 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444263458251953 y=0.659046173095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444263458251953 × 217)
    floor (0.444263458251953 × 131072)
    floor (58230.5)     		tx = 58230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659046173095703 × 217)
    floor (0.659046173095703 × 131072)
    floor (86382.5)     		ty = 86382
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58230 / 86382 ti = "17/58230/86382"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58230/86382.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58230 ÷ 217
    58230 ÷ 131072     		x = 0.444259643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86382 ÷ 217
    86382 ÷ 131072     		y = 0.659042358398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444259643554688 × 2 - 1) × π
    -0.111480712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35022699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659042358398438 × 2 - 1) × π
    -0.318084716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.999292609479691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35022699} λ = -0.35022699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.999292609479691))-π/2
    2×atan(0.368139767666135)-π/2
    2×0.352742697249408-π/2
    0.705485394498816-1.57079632675     		φ = -0.86531093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35022699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.066528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86531093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.578664°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58230 KachelY 86382 -0.35022699 -0.86531093 -20.066528 -49.578664
    Oben rechts KachelX + 1 58231 KachelY 86382 -0.35017905 -0.86531093 -20.063782 -49.578664
    Unten links KachelX 58230 KachelY + 1 86383 -0.35022699 -0.86534201 -20.066528 -49.580445
    Unten rechts KachelX + 1 58231 KachelY + 1 86383 -0.35017905 -0.86534201 -20.063782 -49.580445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86531093--0.86534201) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dl = 198.010679999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86531093--0.86534201) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dr = 198.010679999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35022699--0.35017905) × cos(-0.86531093) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648403436985632 × 6371000     		do = 198.03909955998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35022699--0.35017905) × cos(-0.86534201) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648379775564552 × 6371000     		du = 198.031872752937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86531093)-sin(-0.86534201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648403436985632-0.648379775564552)×R²
    abs(-0.35017905--0.35022699)×2.36614210805675e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36614210805675e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36614210805675e-05×40589641000000     		ar = 39213.1412812358m²