Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58230 / 36023
↖ ↑ ↗
← N 62.685489°
W 20.066528°		 ← 140.15 m → N 62.685489°
W 20.063782°		 →
↑
140.16 m
↓
↑
140.16 m
↓
N 62.684228°
W 20.066528°		 ← 140.16 m →
19 644 m²		 N 62.684228°
W 20.063782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 36023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444263458251953 y=0.274837493896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444263458251953 × 217)
    floor (0.444263458251953 × 131072)
    floor (58230.5)     		tx = 58230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.274837493896484 × 217)
    floor (0.274837493896484 × 131072)
    floor (36023.5)     		ty = 36023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58230 / 36023 ti = "17/58230/36023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58230/36023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58230 ÷ 217
    58230 ÷ 131072     		x = 0.444259643554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 36023 ÷ 217
    36023 ÷ 131072     		y = 0.274833679199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444259643554688 × 2 - 1) × π
    -0.111480712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35022699
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.274833679199219 × 2 - 1) × π
    0.450332641601562 × 3.1415926535     		Φ = 1.41476171848672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35022699} λ = -0.35022699}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.41476171848672))-π/2
    2×atan(4.11550570020256)-π/2
    2×1.33243224761127-π/2
    2.66486449522255-1.57079632675     		φ = 1.09406817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35022699} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.066528°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09406817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.685489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58230 KachelY 36023 -0.35022699 1.09406817 -20.066528 62.685489
    Oben rechts KachelX + 1 58231 KachelY 36023 -0.35017905 1.09406817 -20.063782 62.685489
    Unten links KachelX 58230 KachelY + 1 36024 -0.35022699 1.09404617 -20.066528 62.684228
    Unten rechts KachelX + 1 58231 KachelY + 1 36024 -0.35017905 1.09404617 -20.063782 62.684228
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09406817-1.09404617) × R
    2.19999999999665e-05 × 6371000     		dl = 140.161999999787m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09406817-1.09404617) × R
    2.19999999999665e-05 × 6371000     		dr = 140.161999999787m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35022699--0.35017905) × cos(1.09406817) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.458874600747123 × 6371000     		do = 140.152114500465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35022699--0.35017905) × cos(1.09404617) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.458894147658987 × 6371000     		du = 140.158084630486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09406817)-sin(1.09404617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.458874600747123-0.458894147658987)×R²
    abs(-0.35017905--0.35022699)×1.95469118642877e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.95469118642877e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.95469118642877e-05×40589641000000     		ar = 19644.4190658689m²