Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5823 / 6845
↖ ↑ ↗
← N 28.362402°
W 52.053223°		 ← 2 149.93 m → N 28.362402°
W 52.031250°		 →
↑
2 150.15 m
↓
↑
2 150.15 m
↓
N 28.343065°
W 52.053223°		 ← 2 150.32 m →
4 623 096 m²		 N 28.343065°
W 52.031250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.355438232421875 y=0.417816162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.355438232421875 × 214)
    floor (0.355438232421875 × 16384)
    floor (5823.5)     		tx = 5823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417816162109375 × 214)
    floor (0.417816162109375 × 16384)
    floor (6845.5)     		ty = 6845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5823 / 6845 ti = "14/5823/6845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5823/6845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5823 ÷ 214
    5823 ÷ 16384     		x = 0.35540771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6845 ÷ 214
    6845 ÷ 16384     		y = 0.41778564453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35540771484375 × 2 - 1) × π
    -0.2891845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.90850012
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41778564453125 × 2 - 1) × π
    0.1644287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.516568030305725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.90850012} λ = -0.90850012}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.516568030305725))-π/2
    2×atan(1.67626487626843)-π/2
    2×1.03290681041758-π/2
    2.06581362083516-1.57079632675     		φ = 0.49501729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.90850012} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -52.053223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49501729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.362402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5823 KachelY 6845 -0.90850012 0.49501729 -52.053223 28.362402
    Oben rechts KachelX + 1 5824 KachelY 6845 -0.90811663 0.49501729 -52.031250 28.362402
    Unten links KachelX 5823 KachelY + 1 6846 -0.90850012 0.49467980 -52.053223 28.343065
    Unten rechts KachelX + 1 5824 KachelY + 1 6846 -0.90811663 0.49467980 -52.031250 28.343065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49501729-0.49467980) × R
    0.000337489999999996 × 6371000     		dl = 2150.14878999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49501729-0.49467980) × R
    0.000337489999999996 × 6371000     		dr = 2150.14878999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.90850012--0.90811663) × cos(0.49501729) × R
    0.000383490000000042 × 0.879960496407423 × 6371000     		do = 2149.93249943859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.90850012--0.90811663) × cos(0.49467980) × R
    0.000383490000000042 × 0.880120769857609 × 6371000     		du = 2150.32408190253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49501729)-sin(0.49467980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879960496407423-0.880120769857609)×R²
    abs(-0.90811663--0.90850012)×0.000160273450185433×R²
    0.000383490000000042×0.000160273450185433×6371000²
    0.000383490000000042×0.000160273450185433×40589641000000     		ar = 4623095.78641014m²