Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58229 / 86390
↖ ↑ ↗
← S 49.592910°
W 20.069275°		 ← 197.98 m → S 49.592910°
W 20.066528°		 →
↑
197.95 m
↓
↑
197.95 m
↓
S 49.594690°
W 20.069275°		 ← 197.97 m →
39 189 m²		 S 49.594690°
W 20.066528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58229 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86390 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444255828857422 y=0.659107208251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444255828857422 × 217)
    floor (0.444255828857422 × 131072)
    floor (58229.5)     		tx = 58229
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659107208251953 × 217)
    floor (0.659107208251953 × 131072)
    floor (86390.5)     		ty = 86390
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58229 / 86390 ti = "17/58229/86390"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58229/86390.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58229 ÷ 217
    58229 ÷ 131072     		x = 0.444252014160156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86390 ÷ 217
    86390 ÷ 131072     		y = 0.659103393554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444252014160156 × 2 - 1) × π
    -0.111495971679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.35027493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659103393554688 × 2 - 1) × π
    -0.318206787109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.999676104676651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35027493} λ = -0.35027493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.999676104676651))-π/2
    2×atan(0.367998614900859)-π/2
    2×0.352618385596643-π/2
    0.705236771193285-1.57079632675     		φ = -0.86555956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35027493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.069275°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86555956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.592910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58229 KachelY 86390 -0.35027493 -0.86555956 -20.069275 -49.592910
    Oben rechts KachelX + 1 58230 KachelY 86390 -0.35022699 -0.86555956 -20.066528 -49.592910
    Unten links KachelX 58229 KachelY + 1 86391 -0.35027493 -0.86559063 -20.069275 -49.594690
    Unten rechts KachelX + 1 58230 KachelY + 1 86391 -0.35022699 -0.86559063 -20.066528 -49.594690
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86555956--0.86559063) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dl = 197.94697000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86555956--0.86559063) × R
    3.10700000000219e-05 × 6371000     		dr = 197.94697000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35027493--0.35022699) × cos(-0.86555956) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648214135696082 × 6371000     		do = 197.981282073307m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35027493--0.35022699) × cos(-0.86559063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.648190476880121 × 6371000     		du = 197.974056061934m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86555956)-sin(-0.86559063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648214135696082-0.648190476880121)×R²
    abs(-0.35022699--0.35027493)×2.3658815961336e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3658815961336e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3658815961336e-05×40589641000000     		ar = 39189.0797226625m²