Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58227 / 86548
↖ ↑ ↗
← S 49.873398°
W 20.074768°		 ← 196.84 m → S 49.873398°
W 20.072021°		 →
↑
196.80 m
↓
↑
196.80 m
↓
S 49.875168°
W 20.074768°		 ← 196.83 m →
38 738 m²		 S 49.875168°
W 20.072021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444240570068359 y=0.660312652587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444240570068359 × 217)
    floor (0.444240570068359 × 131072)
    floor (58227.5)     		tx = 58227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660312652587891 × 217)
    floor (0.660312652587891 × 131072)
    floor (86548.5)     		ty = 86548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58227 / 86548 ti = "17/58227/86548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58227/86548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58227 ÷ 217
    58227 ÷ 131072     		x = 0.444236755371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86548 ÷ 217
    86548 ÷ 131072     		y = 0.660308837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444236755371094 × 2 - 1) × π
    -0.111526489257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35037080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660308837890625 × 2 - 1) × π
    -0.32061767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00725013481662
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35037080} λ = -0.35037080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00725013481662))-π/2
    2×atan(0.365221910993679)-π/2
    2×0.350170663868111-π/2
    0.700341327736222-1.57079632675     		φ = -0.87045500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35037080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.074768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87045500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.873398°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58227 KachelY 86548 -0.35037080 -0.87045500 -20.074768 -49.873398
    Oben rechts KachelX + 1 58228 KachelY 86548 -0.35032286 -0.87045500 -20.072021 -49.873398
    Unten links KachelX 58227 KachelY + 1 86549 -0.35037080 -0.87048589 -20.074768 -49.875168
    Unten rechts KachelX + 1 58228 KachelY + 1 86549 -0.35032286 -0.87048589 -20.072021 -49.875168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87045500--0.87048589) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dl = 196.800190000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87045500--0.87048589) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dr = 196.800190000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35037080--0.35032286) × cos(-0.87045500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644478710838047 × 6371000     		do = 196.840387171828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35037080--0.35032286) × cos(-0.87048589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644455091349147 × 6371000     		du = 196.833173171952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87045500)-sin(-0.87048589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644478710838047-0.644455091349147)×R²
    abs(-0.35032286--0.35037080)×2.36194888998398e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36194888998398e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36194888998398e-05×40589641000000     		ar = 38737.5157397835m²