Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58227 / 86479
↖ ↑ ↗
← S 49.751106°
W 20.074768°		 ← 197.34 m → S 49.751106°
W 20.072021°		 →
↑
197.31 m
↓
↑
197.31 m
↓
S 49.752880°
W 20.074768°		 ← 197.33 m →
38 936 m²		 S 49.752880°
W 20.072021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444240570068359 y=0.659786224365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444240570068359 × 217)
    floor (0.444240570068359 × 131072)
    floor (58227.5)     		tx = 58227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659786224365234 × 217)
    floor (0.659786224365234 × 131072)
    floor (86479.5)     		ty = 86479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58227 / 86479 ti = "17/58227/86479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58227/86479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58227 ÷ 217
    58227 ÷ 131072     		x = 0.444236755371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86479 ÷ 217
    86479 ÷ 131072     		y = 0.659782409667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444236755371094 × 2 - 1) × π
    -0.111526489257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35037080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659782409667969 × 2 - 1) × π
    -0.319564819335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.00394248874284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35037080} λ = -0.35037080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00394248874284))-π/2
    2×atan(0.366431935877473)-π/2
    2×0.351237865760495-π/2
    0.702475731520991-1.57079632675     		φ = -0.86832060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35037080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.074768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86832060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.751106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58227 KachelY 86479 -0.35037080 -0.86832060 -20.074768 -49.751106
    Oben rechts KachelX + 1 58228 KachelY 86479 -0.35032286 -0.86832060 -20.072021 -49.751106
    Unten links KachelX 58227 KachelY + 1 86480 -0.35037080 -0.86835157 -20.074768 -49.752880
    Unten rechts KachelX + 1 58228 KachelY + 1 86480 -0.35032286 -0.86835157 -20.072021 -49.752880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86832060--0.86835157) × R
    3.09699999999635e-05 × 6371000     		dl = 197.309869999768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86832060--0.86835157) × R
    3.09699999999635e-05 × 6371000     		dr = 197.309869999768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35037080--0.35032286) × cos(-0.86832060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64610925132432 × 6371000     		do = 197.338396206447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35037080--0.35032286) × cos(-0.86835157) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64608561331874 × 6371000     		du = 197.331176551101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86832060)-sin(-0.86835157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64610925132432-0.64608561331874)×R²
    abs(-0.35032286--0.35037080)×2.3638005580362e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3638005580362e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3638005580362e-05×40589641000000     		ar = 38936.1010500134m²