Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58227 / 86443
↖ ↑ ↗
← S 49.687178°
W 20.074768°		 ← 197.60 m → S 49.687178°
W 20.072021°		 →
↑
197.56 m
↓
↑
197.56 m
↓
S 49.688955°
W 20.074768°		 ← 197.59 m →
39 038 m²		 S 49.688955°
W 20.072021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58227 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444240570068359 y=0.659511566162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444240570068359 × 217)
    floor (0.444240570068359 × 131072)
    floor (58227.5)     		tx = 58227
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659511566162109 × 217)
    floor (0.659511566162109 × 131072)
    floor (86443.5)     		ty = 86443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58227 / 86443 ti = "17/58227/86443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58227/86443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58227 ÷ 217
    58227 ÷ 131072     		x = 0.444236755371094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86443 ÷ 217
    86443 ÷ 131072     		y = 0.659507751464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444236755371094 × 2 - 1) × π
    -0.111526489257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35037080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659507751464844 × 2 - 1) × π
    -0.319015502929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.00221676035651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35037080} λ = -0.35037080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00221676035651))-π/2
    2×atan(0.367064843827406)-π/2
    2×0.351795737506506-π/2
    0.703591475013012-1.57079632675     		φ = -0.86720485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35037080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.074768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86720485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.687178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58227 KachelY 86443 -0.35037080 -0.86720485 -20.074768 -49.687178
    Oben rechts KachelX + 1 58228 KachelY 86443 -0.35032286 -0.86720485 -20.072021 -49.687178
    Unten links KachelX 58227 KachelY + 1 86444 -0.35037080 -0.86723586 -20.074768 -49.688955
    Unten rechts KachelX + 1 58228 KachelY + 1 86444 -0.35032286 -0.86723586 -20.072021 -49.688955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86720485--0.86723586) × R
    3.10099999999425e-05 × 6371000     		dl = 197.564709999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86720485--0.86723586) × R
    3.10099999999425e-05 × 6371000     		dr = 197.564709999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35037080--0.35032286) × cos(-0.86720485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646960439517146 × 6371000     		do = 197.59837099012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35037080--0.35032286) × cos(-0.86723586) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646936793350283 × 6371000     		du = 197.591148842108m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86720485)-sin(-0.86723586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646960439517146-0.646936793350283)×R²
    abs(-0.35032286--0.35037080)×2.36461668631227e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36461668631227e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36461668631227e-05×40589641000000     		ar = 39037.7514434404m²