Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58226 / 86639
↖ ↑ ↗
← S 50.034209°
W 20.077515°		 ← 196.18 m → S 50.034209°
W 20.074768°		 →
↑
196.16 m
↓
↑
196.16 m
↓
S 50.035973°
W 20.077515°		 ← 196.18 m →
38 483 m²		 S 50.035973°
W 20.074768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86639 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444232940673828 y=0.661006927490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444232940673828 × 217)
    floor (0.444232940673828 × 131072)
    floor (58226.5)     		tx = 58226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661006927490234 × 217)
    floor (0.661006927490234 × 131072)
    floor (86639.5)     		ty = 86639
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58226 / 86639 ti = "17/58226/86639"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58226/86639.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58226 ÷ 217
    58226 ÷ 131072     		x = 0.444229125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86639 ÷ 217
    86639 ÷ 131072     		y = 0.661003112792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444229125976562 × 2 - 1) × π
    -0.111541748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35041874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661003112792969 × 2 - 1) × π
    -0.322006225585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.01161239268205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35041874} λ = -0.35041874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01161239268205))-π/2
    2×atan(0.363632188749942)-π/2
    2×0.348767316270518-π/2
    0.697534632541036-1.57079632675     		φ = -0.87326169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35041874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.077515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87326169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.034209°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58226 KachelY 86639 -0.35041874 -0.87326169 -20.077515 -50.034209
    Oben rechts KachelX + 1 58227 KachelY 86639 -0.35037080 -0.87326169 -20.074768 -50.034209
    Unten links KachelX 58226 KachelY + 1 86640 -0.35041874 -0.87329248 -20.077515 -50.035973
    Unten rechts KachelX + 1 58227 KachelY + 1 86640 -0.35037080 -0.87329248 -20.074768 -50.035973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87326169--0.87329248) × R
    3.07900000000583e-05 × 6371000     		dl = 196.163090000371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87326169--0.87329248) × R
    3.07900000000583e-05 × 6371000     		dr = 196.163090000371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35041874--0.35037080) × cos(-0.87326169) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642330117579953 × 6371000     		do = 196.184151486243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35041874--0.35037080) × cos(-0.87329248) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.642306518954534 × 6371000     		du = 196.176943858611m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87326169)-sin(-0.87329248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642330117579953-0.642306518954534)×R²
    abs(-0.35037080--0.35041874)×2.35986254181197e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35986254181197e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35986254181197e-05×40589641000000     		ar = 38483.3824324691m²