Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58224 / 86546
↖ ↑ ↗
← S 49.869857°
W 20.083008°		 ← 196.85 m → S 49.869857°
W 20.080261°		 →
↑
196.80 m
↓
↑
196.80 m
↓
S 49.871627°
W 20.083008°		 ← 196.85 m →
38 740 m²		 S 49.871627°
W 20.080261°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444217681884766 y=0.660297393798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444217681884766 × 217)
    floor (0.444217681884766 × 131072)
    floor (58224.5)     		tx = 58224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660297393798828 × 217)
    floor (0.660297393798828 × 131072)
    floor (86546.5)     		ty = 86546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58224 / 86546 ti = "17/58224/86546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58224/86546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58224 ÷ 217
    58224 ÷ 131072     		x = 0.4442138671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86546 ÷ 217
    86546 ÷ 131072     		y = 0.660293579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.111572265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35051461
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660293579101562 × 2 - 1) × π
    -0.320587158203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00715426101738
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35051461} λ = -0.35051461}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00715426101738))-π/2
    2×atan(0.365256927884426)-π/2
    2×0.35020155931181-π/2
    0.700403118623621-1.57079632675     		φ = -0.87039321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35051461} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.083008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87039321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.869857°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58224 KachelY 86546 -0.35051461 -0.87039321 -20.083008 -49.869857
    Oben rechts KachelX + 1 58225 KachelY 86546 -0.35046667 -0.87039321 -20.080261 -49.869857
    Unten links KachelX 58224 KachelY + 1 86547 -0.35051461 -0.87042410 -20.083008 -49.871627
    Unten rechts KachelX + 1 58225 KachelY + 1 86547 -0.35046667 -0.87042410 -20.080261 -49.871627
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87039321--0.87042410) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dl = 196.800190000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87039321--0.87042410) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dr = 196.800190000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35051461--0.35046667) × cos(-0.87039321) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644525955616779 × 6371000     		do = 196.854816943561m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35051461--0.35046667) × cos(-0.87042410) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644502337358014 × 6371000     		du = 196.8476033194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87039321)-sin(-0.87042410))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644525955616779-0.644502337358014)×R²
    abs(-0.35046667--0.35051461)×2.361825876529e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.361825876529e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.361825876529e-05×40589641000000     		ar = 38740.3555586599m²