Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58223 / 86657
↖ ↑ ↗
← S 50.065955°
W 20.085755°		 ← 196.05 m → S 50.065955°
W 20.083008°		 →
↑
196.04 m
↓
↑
196.04 m
↓
S 50.067718°
W 20.085755°		 ← 196.05 m →
38 433 m²		 S 50.067718°
W 20.083008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444210052490234 y=0.661144256591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444210052490234 × 217)
    floor (0.444210052490234 × 131072)
    floor (58223.5)     		tx = 58223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661144256591797 × 217)
    floor (0.661144256591797 × 131072)
    floor (86657.5)     		ty = 86657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58223 / 86657 ti = "17/58223/86657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58223/86657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58223 ÷ 217
    58223 ÷ 131072     		x = 0.444206237792969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86657 ÷ 217
    86657 ÷ 131072     		y = 0.661140441894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444206237792969 × 2 - 1) × π
    -0.111587524414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.35056255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661140441894531 × 2 - 1) × π
    -0.322280883789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.01247525687521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35056255} λ = -0.35056255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01247525687521))-π/2
    2×atan(0.363318558884239)-π/2
    2×0.348490286070149-π/2
    0.696980572140298-1.57079632675     		φ = -0.87381575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35056255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.085755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87381575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.065955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58223 KachelY 86657 -0.35056255 -0.87381575 -20.085755 -50.065955
    Oben rechts KachelX + 1 58224 KachelY 86657 -0.35051461 -0.87381575 -20.083008 -50.065955
    Unten links KachelX 58223 KachelY + 1 86658 -0.35056255 -0.87384652 -20.085755 -50.067718
    Unten rechts KachelX + 1 58224 KachelY + 1 86658 -0.35051461 -0.87384652 -20.083008 -50.067718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87381575--0.87384652) × R
    3.07699999999578e-05 × 6371000     		dl = 196.035669999731m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87381575--0.87384652) × R
    3.07699999999578e-05 × 6371000     		dr = 196.035669999731m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35056255--0.35051461) × cos(-0.87381575) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641905371861037 × 6371000     		do = 196.054423210504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35056255--0.35051461) × cos(-0.87384652) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641881777617681 × 6371000     		du = 196.047216921267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87381575)-sin(-0.87384652))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641905371861037-0.641881777617681)×R²
    abs(-0.35051461--0.35056255)×2.35942433569614e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35942433569614e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35942433569614e-05×40589641000000     		ar = 38432.9538686826m²