Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58222 / 86046
↖ ↑ ↗
← S 48.976612°
W 20.088501°		 ← 200.43 m → S 48.976612°
W 20.085755°		 →
↑
200.43 m
↓
↑
200.43 m
↓
S 48.978414°
W 20.088501°		 ← 200.42 m →
40 172 m²		 S 48.978414°
W 20.085755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86046 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444202423095703 y=0.656482696533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444202423095703 × 217)
    floor (0.444202423095703 × 131072)
    floor (58222.5)     		tx = 58222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656482696533203 × 217)
    floor (0.656482696533203 × 131072)
    floor (86046.5)     		ty = 86046
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58222 / 86046 ti = "17/58222/86046"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58222/86046.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58222 ÷ 217
    58222 ÷ 131072     		x = 0.444198608398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86046 ÷ 217
    86046 ÷ 131072     		y = 0.656478881835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444198608398438 × 2 - 1) × π
    -0.111602783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35061048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656478881835938 × 2 - 1) × π
    -0.312957763671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.983185811207352
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35061048} λ = -0.35061048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.983185811207352))-π/2
    2×atan(0.374117331115419)-π/2
    2×0.357996599102145-π/2
    0.715993198204291-1.57079632675     		φ = -0.85480313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35061048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.088501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85480313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.976612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58222 KachelY 86046 -0.35061048 -0.85480313 -20.088501 -48.976612
    Oben rechts KachelX + 1 58223 KachelY 86046 -0.35056255 -0.85480313 -20.085755 -48.976612
    Unten links KachelX 58222 KachelY + 1 86047 -0.35061048 -0.85483459 -20.088501 -48.978414
    Unten rechts KachelX + 1 58223 KachelY + 1 86047 -0.35056255 -0.85483459 -20.085755 -48.978414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85480313--0.85483459) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dl = 200.431659999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85480313--0.85483459) × R
    3.14599999999832e-05 × 6371000     		dr = 200.431659999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35061048--0.35056255) × cos(-0.85480313) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656367049397308 × 6371000     		do = 200.429574629195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35061048--0.35056255) × cos(-0.85483459) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.656343314336246 × 6371000     		du = 200.422326842767m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85480313)-sin(-0.85483459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656367049397308-0.656343314336246)×R²
    abs(-0.35056255--0.35061048)×2.37350610621245e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37350610621245e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37350610621245e-05×40589641000000     		ar = 40171.7060163501m²