Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58221 / 38787
↖ ↑ ↗
← N 58.991067°
W 20.091248°		 ← 157.35 m → N 58.991067°
W 20.088501°		 →
↑
157.36 m
↓
↑
157.36 m
↓
N 58.989651°
W 20.091248°		 ← 157.35 m →
24 761 m²		 N 58.989651°
W 20.088501°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38787 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444194793701172 y=0.295925140380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444194793701172 × 217)
    floor (0.444194793701172 × 131072)
    floor (58221.5)     		tx = 58221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295925140380859 × 217)
    floor (0.295925140380859 × 131072)
    floor (38787.5)     		ty = 38787
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58221 / 38787 ti = "17/58221/38787"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58221/38787.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58221 ÷ 217
    58221 ÷ 131072     		x = 0.444190979003906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38787 ÷ 217
    38787 ÷ 131072     		y = 0.295921325683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444190979003906 × 2 - 1) × π
    -0.111618041992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35065842
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295921325683594 × 2 - 1) × π
    0.408157348632812 × 3.1415926535     		Φ = 1.28226412793688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35065842} λ = -0.35065842}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28226412793688))-π/2
    2×atan(3.60479220369493)-π/2
    2×1.30019233380283-π/2
    2.60038466760566-1.57079632675     		φ = 1.02958834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35065842} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.091248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02958834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.991067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58221 KachelY 38787 -0.35065842 1.02958834 -20.091248 58.991067
    Oben rechts KachelX + 1 58222 KachelY 38787 -0.35061048 1.02958834 -20.088501 58.991067
    Unten links KachelX 58221 KachelY + 1 38788 -0.35065842 1.02956364 -20.091248 58.989651
    Unten rechts KachelX + 1 58222 KachelY + 1 38788 -0.35061048 1.02956364 -20.088501 58.989651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02958834-1.02956364) × R
    2.47000000002107e-05 × 6371000     		dl = 157.363700001342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02958834-1.02956364) × R
    2.47000000002107e-05 × 6371000     		dr = 157.363700001342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35065842--0.35061048) × cos(1.02958834) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.515171717040259 × 6371000     		do = 157.346702904171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35065842--0.35061048) × cos(1.02956364) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.515192886931666 × 6371000     		du = 157.353168733919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02958834)-sin(1.02956364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.515171717040259-0.515192886931666)×R²
    abs(-0.35061048--0.35065842)×2.11698914073244e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.11698914073244e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.11698914073244e-05×40589641000000     		ar = 24761.1680968371m²