Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58220 / 28244
↖ ↑ ↗
← N 70.999083°
W 20.093994°		 ← 99.44 m → N 70.999083°
W 20.091248°		 →
↑
99.39 m
↓
↑
99.39 m
↓
N 70.998189°
W 20.093994°		 ← 99.45 m →
9 883 m²		 N 70.998189°
W 20.091248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444187164306641 y=0.215488433837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444187164306641 × 217)
    floor (0.444187164306641 × 131072)
    floor (58220.5)     		tx = 58220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.215488433837891 × 217)
    floor (0.215488433837891 × 131072)
    floor (28244.5)     		ty = 28244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58220 / 28244 ti = "17/58220/28244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58220/28244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58220 ÷ 217
    58220 ÷ 131072     		x = 0.444183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28244 ÷ 217
    28244 ÷ 131072     		y = 0.215484619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.11163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35070636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.215484619140625 × 2 - 1) × π
    0.56903076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78766286063113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35070636} λ = -0.35070636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78766286063113))-π/2
    2×atan(5.9754706263447)-π/2
    2×1.40498204583808-π/2
    2.80996409167617-1.57079632675     		φ = 1.23916776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35070636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.093994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23916776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.999083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58220 KachelY 28244 -0.35070636 1.23916776 -20.093994 70.999083
    Oben rechts KachelX + 1 58221 KachelY 28244 -0.35065842 1.23916776 -20.091248 70.999083
    Unten links KachelX 58220 KachelY + 1 28245 -0.35070636 1.23915216 -20.093994 70.998189
    Unten rechts KachelX + 1 58221 KachelY + 1 28245 -0.35065842 1.23915216 -20.091248 70.998189
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23916776-1.23915216) × R
    1.56000000000045e-05 × 6371000     		dl = 99.3876000000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23916776-1.23915216) × R
    1.56000000000045e-05 × 6371000     		dr = 99.3876000000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35070636--0.35065842) × cos(1.23916776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325583291142865 × 6371000     		do = 99.4415176288799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35070636--0.35065842) × cos(1.23915216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325598041111718 × 6371000     		du = 99.4460226490318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23916776)-sin(1.23915216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325583291142865-0.325598041111718)×R²
    abs(-0.35065842--0.35070636)×1.47499688528119e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47499688528119e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47499688528119e-05×40589641000000     		ar = 9883.47764937338m²