Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58219 / 86461
↖ ↑ ↗
← S 49.719152°
W 20.096740°		 ← 197.43 m → S 49.719152°
W 20.093994°		 →
↑
197.44 m
↓
↑
197.44 m
↓
S 49.720928°
W 20.096740°		 ← 197.42 m →
38 979 m²		 S 49.720928°
W 20.093994°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444179534912109 y=0.659648895263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444179534912109 × 217)
    floor (0.444179534912109 × 131072)
    floor (58219.5)     		tx = 58219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659648895263672 × 217)
    floor (0.659648895263672 × 131072)
    floor (86461.5)     		ty = 86461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58219 / 86461 ti = "17/58219/86461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58219/86461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58219 ÷ 217
    58219 ÷ 131072     		x = 0.444175720214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86461 ÷ 217
    86461 ÷ 131072     		y = 0.659645080566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444175720214844 × 2 - 1) × π
    -0.111648559570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.35075429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659645080566406 × 2 - 1) × π
    -0.319290161132812 × 3.1415926535     		Φ = -1.00307962454967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35075429} λ = -0.35075429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00307962454967))-π/2
    2×atan(0.366748253324046)-π/2
    2×0.351516709826551-π/2
    0.703033419653102-1.57079632675     		φ = -0.86776291
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35075429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.096740°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86776291 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.719152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58219 KachelY 86461 -0.35075429 -0.86776291 -20.096740 -49.719152
    Oben rechts KachelX + 1 58220 KachelY 86461 -0.35070636 -0.86776291 -20.093994 -49.719152
    Unten links KachelX 58219 KachelY + 1 86462 -0.35075429 -0.86779390 -20.096740 -49.720928
    Unten rechts KachelX + 1 58220 KachelY + 1 86462 -0.35070636 -0.86779390 -20.093994 -49.720928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86776291--0.86779390) × R
    3.0989999999953e-05 × 6371000     		dl = 197.437289999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86776291--0.86779390) × R
    3.0989999999953e-05 × 6371000     		dr = 197.437289999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35075429--0.35070636) × cos(-0.86776291) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.646534804895874 × 6371000     		do = 197.427180488779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35075429--0.35070636) × cos(-0.86779390) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.646511162795053 × 6371000     		du = 197.419961088879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86776291)-sin(-0.86779390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646534804895874-0.646511162795053)×R²
    abs(-0.35070636--0.35075429)×2.364210082062e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.364210082062e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.364210082062e-05×40589641000000     		ar = 38978.7748017244m²