Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58218 / 86630
↖ ↑ ↗
← S 50.018329°
W 20.099487°		 ← 196.25 m → S 50.018329°
W 20.096740°		 →
↑
196.23 m
↓
↑
196.23 m
↓
S 50.020094°
W 20.099487°		 ← 196.24 m →
38 509 m²		 S 50.020094°
W 20.096740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444171905517578 y=0.660938262939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444171905517578 × 217)
    floor (0.444171905517578 × 131072)
    floor (58218.5)     		tx = 58218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660938262939453 × 217)
    floor (0.660938262939453 × 131072)
    floor (86630.5)     		ty = 86630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58218 / 86630 ti = "17/58218/86630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58218/86630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58218 ÷ 217
    58218 ÷ 131072     		x = 0.444168090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86630 ÷ 217
    86630 ÷ 131072     		y = 0.660934448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444168090820312 × 2 - 1) × π
    -0.111663818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35080223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660934448242188 × 2 - 1) × π
    -0.321868896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01118096058546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35080223} λ = -0.35080223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01118096058546))-π/2
    2×atan(0.36378910519448)-π/2
    2×0.34890590009362-π/2
    0.69781180018724-1.57079632675     		φ = -0.87298453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35080223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.099487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87298453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.018329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58218 KachelY 86630 -0.35080223 -0.87298453 -20.099487 -50.018329
    Oben rechts KachelX + 1 58219 KachelY 86630 -0.35075429 -0.87298453 -20.096740 -50.018329
    Unten links KachelX 58218 KachelY + 1 86631 -0.35080223 -0.87301533 -20.099487 -50.020094
    Unten rechts KachelX + 1 58219 KachelY + 1 86631 -0.35075429 -0.87301533 -20.096740 -50.020094
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87298453--0.87301533) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dl = 196.226799999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87298453--0.87301533) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dr = 196.226799999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35080223--0.35075429) × cos(-0.87298453) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642542516116033 × 6371000     		do = 196.249023466073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35080223--0.35075429) × cos(-0.87301533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642518915310211 × 6371000     		du = 196.24181517249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87298453)-sin(-0.87301533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642542516116033-0.642518915310211)×R²
    abs(-0.35075429--0.35080223)×2.36008058218662e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36008058218662e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36008058218662e-05×40589641000000     		ar = 38508.6106508006m²