Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58218 / 86442
↖ ↑ ↗
← S 49.685401°
W 20.099487°		 ← 197.61 m → S 49.685401°
W 20.096740°		 →
↑
197.56 m
↓
↑
197.56 m
↓
S 49.687178°
W 20.099487°		 ← 197.60 m →
39 039 m²		 S 49.687178°
W 20.096740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444171905517578 y=0.659503936767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444171905517578 × 217)
    floor (0.444171905517578 × 131072)
    floor (58218.5)     		tx = 58218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659503936767578 × 217)
    floor (0.659503936767578 × 131072)
    floor (86442.5)     		ty = 86442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58218 / 86442 ti = "17/58218/86442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58218/86442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58218 ÷ 217
    58218 ÷ 131072     		x = 0.444168090820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86442 ÷ 217
    86442 ÷ 131072     		y = 0.659500122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444168090820312 × 2 - 1) × π
    -0.111663818359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35080223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659500122070312 × 2 - 1) × π
    -0.319000244140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00216882345689
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35080223} λ = -0.35080223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00216882345689))-π/2
    2×atan(0.367082440199733)-π/2
    2×0.351811244428705-π/2
    0.70362248885741-1.57079632675     		φ = -0.86717384
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35080223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.099487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86717384 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.685401°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58218 KachelY 86442 -0.35080223 -0.86717384 -20.099487 -49.685401
    Oben rechts KachelX + 1 58219 KachelY 86442 -0.35075429 -0.86717384 -20.096740 -49.685401
    Unten links KachelX 58218 KachelY + 1 86443 -0.35080223 -0.86720485 -20.099487 -49.687178
    Unten rechts KachelX + 1 58219 KachelY + 1 86443 -0.35075429 -0.86720485 -20.096740 -49.687178
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86717384--0.86720485) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dl = 197.564710000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86717384--0.86720485) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dr = 197.564710000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35080223--0.35075429) × cos(-0.86717384) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646984085061879 × 6371000     		do = 197.605592948118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35080223--0.35075429) × cos(-0.86720485) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646960439517146 × 6371000     		du = 197.59837099012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86717384)-sin(-0.86720485))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646984085061879-0.646960439517146)×R²
    abs(-0.35075429--0.35080223)×2.36455447329975e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36455447329975e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36455447329975e-05×40589641000000     		ar = 39039.1782662899m²