Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58217 / 86454
↖ ↑ ↗
← S 49.706720°
W 20.102234°		 ← 197.52 m → S 49.706720°
W 20.099487°		 →
↑
197.50 m
↓
↑
197.50 m
↓
S 49.708496°
W 20.102234°		 ← 197.51 m →
39 009 m²		 S 49.708496°
W 20.099487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444164276123047 y=0.659595489501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444164276123047 × 217)
    floor (0.444164276123047 × 131072)
    floor (58217.5)     		tx = 58217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659595489501953 × 217)
    floor (0.659595489501953 × 131072)
    floor (86454.5)     		ty = 86454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58217 / 86454 ti = "17/58217/86454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58217/86454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58217 ÷ 217
    58217 ÷ 131072     		x = 0.444160461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86454 ÷ 217
    86454 ÷ 131072     		y = 0.659591674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444160461425781 × 2 - 1) × π
    -0.111679077148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35085017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659591674804688 × 2 - 1) × π
    -0.319183349609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00274406625233
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35085017} λ = -0.35085017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00274406625233))-π/2
    2×atan(0.366871339393605)-π/2
    2×0.351625198770787-π/2
    0.703250397541575-1.57079632675     		φ = -0.86754593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35085017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.102234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86754593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.706720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58217 KachelY 86454 -0.35085017 -0.86754593 -20.102234 -49.706720
    Oben rechts KachelX + 1 58218 KachelY 86454 -0.35080223 -0.86754593 -20.099487 -49.706720
    Unten links KachelX 58217 KachelY + 1 86455 -0.35085017 -0.86757693 -20.102234 -49.708496
    Unten rechts KachelX + 1 58218 KachelY + 1 86455 -0.35080223 -0.86757693 -20.099487 -49.708496
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86754593--0.86757693) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dl = 197.501000000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86754593--0.86757693) × R
    3.10000000000032e-05 × 6371000     		dr = 197.501000000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35085017--0.35080223) × cos(-0.86754593) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.646700320351821 × 6371000     		do = 197.518923901791m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35085017--0.35080223) × cos(-0.86757693) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.646676674971271 × 6371000     		du = 197.511701993939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86754593)-sin(-0.86757693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646700320351821-0.646676674971271)×R²
    abs(-0.35080223--0.35085017)×2.3645380550108e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3645380550108e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3645380550108e-05×40589641000000     		ar = 39009.471825587m²