Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58217 / 29304
↖ ↑ ↗
← N 70.028093°
W 20.102234°		 ← 104.32 m → N 70.028093°
W 20.099487°		 →
↑
104.29 m
↓
↑
104.29 m
↓
N 70.027156°
W 20.102234°		 ← 104.33 m →
10 880 m²		 N 70.027156°
W 20.099487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58217 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444164276123047 y=0.223575592041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444164276123047 × 217)
    floor (0.444164276123047 × 131072)
    floor (58217.5)     		tx = 58217
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223575592041016 × 217)
    floor (0.223575592041016 × 131072)
    floor (29304.5)     		ty = 29304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58217 / 29304 ti = "17/58217/29304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58217/29304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58217 ÷ 217
    58217 ÷ 131072     		x = 0.444160461425781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29304 ÷ 217
    29304 ÷ 131072     		y = 0.22357177734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444160461425781 × 2 - 1) × π
    -0.111679077148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.35085017
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22357177734375 × 2 - 1) × π
    0.5528564453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.73684974703387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35085017} λ = -0.35085017}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73684974703387))-π/2
    2×atan(5.67942359047778)-π/2
    2×1.39650856467527-π/2
    2.79301712935054-1.57079632675     		φ = 1.22222080
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35085017} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.102234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22222080 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.028093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58217 KachelY 29304 -0.35085017 1.22222080 -20.102234 70.028093
    Oben rechts KachelX + 1 58218 KachelY 29304 -0.35080223 1.22222080 -20.099487 70.028093
    Unten links KachelX 58217 KachelY + 1 29305 -0.35085017 1.22220443 -20.102234 70.027156
    Unten rechts KachelX + 1 58218 KachelY + 1 29305 -0.35080223 1.22220443 -20.099487 70.027156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22222080-1.22220443) × R
    1.63700000002098e-05 × 6371000     		dl = 104.293270001337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22222080-1.22220443) × R
    1.63700000002098e-05 × 6371000     		dr = 104.293270001337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35085017--0.35080223) × cos(1.22222080) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.341559348757916 × 6371000     		do = 104.321016848357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35085017--0.35080223) × cos(1.22220443) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.341574734223761 × 6371000     		du = 104.325715965648m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22222080)-sin(1.22220443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341559348757916-0.341574734223761)×R²
    abs(-0.35080223--0.35085017)×1.53854658455077e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.53854658455077e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.53854658455077e-05×40589641000000     		ar = 10880.2250203092m²