Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58216 / 86568
↖ ↑ ↗
← S 49.908787°
W 20.104981°		 ← 196.70 m → S 49.908787°
W 20.102234°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
S 49.910556°
W 20.104981°		 ← 196.69 m →
38 684 m²		 S 49.910556°
W 20.102234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444156646728516 y=0.660465240478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444156646728516 × 217)
    floor (0.444156646728516 × 131072)
    floor (58216.5)     		tx = 58216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660465240478516 × 217)
    floor (0.660465240478516 × 131072)
    floor (86568.5)     		ty = 86568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58216 / 86568 ti = "17/58216/86568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58216/86568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58216 ÷ 217
    58216 ÷ 131072     		x = 0.44415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86568 ÷ 217
    86568 ÷ 131072     		y = 0.66046142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35089811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.66046142578125 × 2 - 1) × π
    -0.3209228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00820887280902
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35089811} λ = -0.35089811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00820887280902))-π/2
    2×atan(0.364871926670394)-π/2
    2×0.349861833985889-π/2
    0.699723667971777-1.57079632675     		φ = -0.87107266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35089811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.104981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87107266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.908787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58216 KachelY 86568 -0.35089811 -0.87107266 -20.104981 -49.908787
    Oben rechts KachelX + 1 58217 KachelY 86568 -0.35085017 -0.87107266 -20.102234 -49.908787
    Unten links KachelX 58216 KachelY + 1 86569 -0.35089811 -0.87110353 -20.104981 -49.910556
    Unten rechts KachelX + 1 58217 KachelY + 1 86569 -0.35085017 -0.87110353 -20.102234 -49.910556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87107266--0.87110353) × R
    3.08699999999051e-05 × 6371000     		dl = 196.672769999396m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87107266--0.87110353) × R
    3.08699999999051e-05 × 6371000     		dr = 196.672769999396m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35089811--0.35085017) × cos(-0.87107266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644006311351126 × 6371000     		do = 196.696104208959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35089811--0.35085017) × cos(-0.87110353) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.643982694871416 × 6371000     		du = 196.688891128168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87107266)-sin(-0.87110353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644006311351126-0.643982694871416)×R²
    abs(-0.35085017--0.35089811)×2.36164797097205e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36164797097205e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36164797097205e-05×40589641000000     		ar = 38684.0583577598m²