Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58216 / 86440
↖ ↑ ↗
← S 49.681847°
W 20.104981°		 ← 197.62 m → S 49.681847°
W 20.102234°		 →
↑
197.56 m
↓
↑
197.56 m
↓
S 49.683624°
W 20.104981°		 ← 197.61 m →
39 042 m²		 S 49.683624°
W 20.102234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444156646728516 y=0.659488677978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444156646728516 × 217)
    floor (0.444156646728516 × 131072)
    floor (58216.5)     		tx = 58216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659488677978516 × 217)
    floor (0.659488677978516 × 131072)
    floor (86440.5)     		ty = 86440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58216 / 86440 ti = "17/58216/86440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58216/86440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58216 ÷ 217
    58216 ÷ 131072     		x = 0.44415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86440 ÷ 217
    86440 ÷ 131072     		y = 0.65948486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35089811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65948486328125 × 2 - 1) × π
    -0.3189697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00207294965765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35089811} λ = -0.35089811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00207294965765))-π/2
    2×atan(0.367117635475034)-π/2
    2×0.35184225997357-π/2
    0.70368451994714-1.57079632675     		φ = -0.86711181
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35089811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.104981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86711181 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.681847°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58216 KachelY 86440 -0.35089811 -0.86711181 -20.104981 -49.681847
    Oben rechts KachelX + 1 58217 KachelY 86440 -0.35085017 -0.86711181 -20.102234 -49.681847
    Unten links KachelX 58216 KachelY + 1 86441 -0.35089811 -0.86714282 -20.104981 -49.683624
    Unten rechts KachelX + 1 58217 KachelY + 1 86441 -0.35085017 -0.86714282 -20.102234 -49.683624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86711181--0.86714282) × R
    3.10099999999425e-05 × 6371000     		dl = 197.564709999633m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86711181--0.86714282) × R
    3.10099999999425e-05 × 6371000     		dr = 197.564709999633m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35089811--0.35085017) × cos(-0.86711181) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.647031381909497 × 6371000     		do = 197.620038622801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35089811--0.35085017) × cos(-0.86714282) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.647007737609294 × 6371000     		du = 197.612817044915m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86711181)-sin(-0.86714282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647031381909497-0.647007737609294)×R²
    abs(-0.35085017--0.35089811)×2.36443002037401e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36443002037401e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36443002037401e-05×40589641000000     		ar = 39042.0322591567m²