Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58216 / 85448
↖ ↑ ↗
← S 47.886881°
W 20.104981°		 ← 204.82 m → S 47.886881°
W 20.102234°		 →
↑
204.83 m
↓
↑
204.83 m
↓
S 47.888723°
W 20.104981°		 ← 204.81 m →
41 952 m²		 S 47.888723°
W 20.102234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444156646728516 y=0.651920318603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444156646728516 × 217)
    floor (0.444156646728516 × 131072)
    floor (58216.5)     		tx = 58216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651920318603516 × 217)
    floor (0.651920318603516 × 131072)
    floor (85448.5)     		ty = 85448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58216 / 85448 ti = "17/58216/85448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58216/85448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58216 ÷ 217
    58216 ÷ 131072     		x = 0.44415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85448 ÷ 217
    85448 ÷ 131072     		y = 0.65191650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35089811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65191650390625 × 2 - 1) × π
    -0.3038330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.954519545234558
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35089811} λ = -0.35089811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954519545234558))-π/2
    2×atan(0.384997073803141)-π/2
    2×0.367506293725907-π/2
    0.735012587451814-1.57079632675     		φ = -0.83578374
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35089811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.104981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83578374 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.886881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58216 KachelY 85448 -0.35089811 -0.83578374 -20.104981 -47.886881
    Oben rechts KachelX + 1 58217 KachelY 85448 -0.35085017 -0.83578374 -20.102234 -47.886881
    Unten links KachelX 58216 KachelY + 1 85449 -0.35089811 -0.83581589 -20.104981 -47.888723
    Unten rechts KachelX + 1 58217 KachelY + 1 85449 -0.35085017 -0.83581589 -20.102234 -47.888723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83578374--0.83581589) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dl = 204.827650000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83578374--0.83581589) × R
    3.21500000000086e-05 × 6371000     		dr = 204.827650000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35089811--0.35085017) × cos(-0.83578374) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670596492856325 × 6371000     		do = 204.817430071913m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35089811--0.35085017) × cos(-0.83581589) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.670572642922401 × 6371000     		du = 204.810145688196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83578374)-sin(-0.83581589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670596492856325-0.670572642922401)×R²
    abs(-0.35085017--0.35089811)×2.3849933924347e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3849933924347e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3849933924347e-05×40589641000000     		ar = 41951.5268626769m²