Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58216 / 39606
↖ ↑ ↗
← N 57.812578°
W 20.104981°		 ← 162.70 m → N 57.812578°
W 20.102234°		 →
↑
162.72 m
↓
↑
162.72 m
↓
N 57.811114°
W 20.104981°		 ← 162.70 m →
26 474 m²		 N 57.811114°
W 20.102234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58216 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39606 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444156646728516 y=0.302173614501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444156646728516 × 217)
    floor (0.444156646728516 × 131072)
    floor (58216.5)     		tx = 58216
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302173614501953 × 217)
    floor (0.302173614501953 × 131072)
    floor (39606.5)     		ty = 39606
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58216 / 39606 ti = "17/58216/39606"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58216/39606.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58216 ÷ 217
    58216 ÷ 131072     		x = 0.44415283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39606 ÷ 217
    39606 ÷ 131072     		y = 0.302169799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44415283203125 × 2 - 1) × π
    -0.1116943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35089811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302169799804688 × 2 - 1) × π
    0.395660400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24300380714806
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35089811} λ = -0.35089811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24300380714806))-π/2
    2×atan(3.46600906656405)-π/2
    2×1.28990807778368-π/2
    2.57981615556737-1.57079632675     		φ = 1.00901983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35089811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.104981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00901983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.812578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58216 KachelY 39606 -0.35089811 1.00901983 -20.104981 57.812578
    Oben rechts KachelX + 1 58217 KachelY 39606 -0.35085017 1.00901983 -20.102234 57.812578
    Unten links KachelX 58216 KachelY + 1 39607 -0.35089811 1.00899429 -20.104981 57.811114
    Unten rechts KachelX + 1 58217 KachelY + 1 39607 -0.35085017 1.00899429 -20.102234 57.811114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00901983-1.00899429) × R
    2.55399999999906e-05 × 6371000     		dl = 162.71533999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00901983-1.00899429) × R
    2.55399999999906e-05 × 6371000     		dr = 162.71533999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35089811--0.35085017) × cos(1.00901983) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.532690504922473 × 6371000     		do = 162.697391656813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35089811--0.35085017) × cos(1.00899429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.532712119509303 × 6371000     		du = 162.703993307991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00901983)-sin(1.00899429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.532690504922473-0.532712119509303)×R²
    abs(-0.35085017--0.35089811)×2.16145868295881e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.16145868295881e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.16145868295881e-05×40589641000000     		ar = 26473.8984969238m²