Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58215 / 86377
↖ ↑ ↗
← S 49.569759°
W 20.107727°		 ← 198.03 m → S 49.569759°
W 20.104981°		 →
↑
198.01 m
↓
↑
198.01 m
↓
S 49.571540°
W 20.107727°		 ← 198.03 m →
39 212 m²		 S 49.571540°
W 20.104981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444149017333984 y=0.659008026123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444149017333984 × 217)
    floor (0.444149017333984 × 131072)
    floor (58215.5)     		tx = 58215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659008026123047 × 217)
    floor (0.659008026123047 × 131072)
    floor (86377.5)     		ty = 86377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58215 / 86377 ti = "17/58215/86377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58215/86377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58215 ÷ 217
    58215 ÷ 131072     		x = 0.444145202636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86377 ÷ 217
    86377 ÷ 131072     		y = 0.659004211425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444145202636719 × 2 - 1) × π
    -0.111709594726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35094604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659004211425781 × 2 - 1) × π
    -0.318008422851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.99905292498159
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35094604} λ = -0.35094604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99905292498159))-π/2
    2×atan(0.368228015636992)-π/2
    2×0.352820410465057-π/2
    0.705640820930114-1.57079632675     		φ = -0.86515551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35094604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.107727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86515551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.569759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58215 KachelY 86377 -0.35094604 -0.86515551 -20.107727 -49.569759
    Oben rechts KachelX + 1 58216 KachelY 86377 -0.35089811 -0.86515551 -20.104981 -49.569759
    Unten links KachelX 58215 KachelY + 1 86378 -0.35094604 -0.86518659 -20.107727 -49.571540
    Unten rechts KachelX + 1 58216 KachelY + 1 86378 -0.35089811 -0.86518659 -20.104981 -49.571540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86515551--0.86518659) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dl = 198.010679999752m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86515551--0.86518659) × R
    3.10799999999611e-05 × 6371000     		dr = 198.010679999752m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35094604--0.35089811) × cos(-0.86515551) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.648521749919462 × 6371000     		do = 198.03391805468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35094604--0.35089811) × cos(-0.86518659) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.648498091630693 × 6371000     		du = 198.026693711596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86515551)-sin(-0.86518659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648521749919462-0.648498091630693)×R²
    abs(-0.35089811--0.35094604)×2.36582887692682e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36582887692682e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36582887692682e-05×40589641000000     		ar = 39212.115531762m²