Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58215 / 38053
↖ ↑ ↗
← N 60.014090°
W 20.107727°		 ← 152.62 m → N 60.014090°
W 20.104981°		 →
↑
152.65 m
↓
↑
152.65 m
↓
N 60.012717°
W 20.107727°		 ← 152.62 m →
23 297 m²		 N 60.012717°
W 20.104981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444149017333984 y=0.290325164794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444149017333984 × 217)
    floor (0.444149017333984 × 131072)
    floor (58215.5)     		tx = 58215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290325164794922 × 217)
    floor (0.290325164794922 × 131072)
    floor (38053.5)     		ty = 38053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58215 / 38053 ti = "17/58215/38053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58215/38053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58215 ÷ 217
    58215 ÷ 131072     		x = 0.444145202636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38053 ÷ 217
    38053 ÷ 131072     		y = 0.290321350097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444145202636719 × 2 - 1) × π
    -0.111709594726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.35094604
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290321350097656 × 2 - 1) × π
    0.419357299804688 × 3.1415926535     		Φ = 1.317449812258
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35094604} λ = -0.35094604}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.317449812258))-π/2
    2×atan(3.73388711220152)-π/2
    2×1.30911989163635-π/2
    2.61823978327269-1.57079632675     		φ = 1.04744346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35094604} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.107727°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04744346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.014090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58215 KachelY 38053 -0.35094604 1.04744346 -20.107727 60.014090
    Oben rechts KachelX + 1 58216 KachelY 38053 -0.35089811 1.04744346 -20.104981 60.014090
    Unten links KachelX 58215 KachelY + 1 38054 -0.35094604 1.04741950 -20.107727 60.012717
    Unten rechts KachelX + 1 58216 KachelY + 1 38054 -0.35089811 1.04741950 -20.104981 60.012717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04744346-1.04741950) × R
    2.39600000000451e-05 × 6371000     		dl = 152.649160000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04744346-1.04741950) × R
    2.39600000000451e-05 × 6371000     		dr = 152.649160000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35094604--0.35089811) × cos(1.04744346) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.499787021613601 × 6371000     		do = 152.615979487676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35094604--0.35089811) × cos(1.04741950) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.499807774384174 × 6371000     		du = 152.622316595827m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04744346)-sin(1.04741950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.499787021613601-0.499807774384174)×R²
    abs(-0.35089811--0.35094604)×2.07527705735067e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.07527705735067e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.07527705735067e-05×40589641000000     		ar = 23297.1847496514m²