Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58213 / 86690
↖ ↑ ↗
← S 50.124100°
W 20.113220°		 ← 195.82 m → S 50.124100°
W 20.110474°		 →
↑
195.78 m
↓
↑
195.78 m
↓
S 50.125861°
W 20.113220°		 ← 195.81 m →
38 336 m²		 S 50.125861°
W 20.110474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86690 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444133758544922 y=0.661396026611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444133758544922 × 217)
    floor (0.444133758544922 × 131072)
    floor (58213.5)     		tx = 58213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661396026611328 × 217)
    floor (0.661396026611328 × 131072)
    floor (86690.5)     		ty = 86690
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58213 / 86690 ti = "17/58213/86690"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58213/86690.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58213 ÷ 217
    58213 ÷ 131072     		x = 0.444129943847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86690 ÷ 217
    86690 ÷ 131072     		y = 0.661392211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444129943847656 × 2 - 1) × π
    -0.111740112304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.35104192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661392211914062 × 2 - 1) × π
    -0.322784423828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.01405717456267
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35104192} λ = -0.35104192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01405717456267))-π/2
    2×atan(0.362744273185869)-π/2
    2×0.347982873234733-π/2
    0.695965746469466-1.57079632675     		φ = -0.87483058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35104192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.113220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87483058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.124100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58213 KachelY 86690 -0.35104192 -0.87483058 -20.113220 -50.124100
    Oben rechts KachelX + 1 58214 KachelY 86690 -0.35099398 -0.87483058 -20.110474 -50.124100
    Unten links KachelX 58213 KachelY + 1 86691 -0.35104192 -0.87486131 -20.113220 -50.125861
    Unten rechts KachelX + 1 58214 KachelY + 1 86691 -0.35099398 -0.87486131 -20.110474 -50.125861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87483058--0.87486131) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dl = 195.780829999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87483058--0.87486131) × R
    3.07299999999788e-05 × 6371000     		dr = 195.780829999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35104192--0.35099398) × cos(-0.87483058) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641126886183542 × 6371000     		do = 195.816653646602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35104192--0.35099398) × cos(-0.87486131) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.641103302606549 × 6371000     		du = 195.809450615147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87483058)-sin(-0.87486131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641126886183542-0.641103302606549)×R²
    abs(-0.35099398--0.35104192)×2.35835769931692e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35835769931692e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35835769931692e-05×40589641000000     		ar = 38336.4418739394m²