Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58213 / 85669
↖ ↑ ↗
← S 48.292330°
W 20.113220°		 ← 203.21 m → S 48.292330°
W 20.110474°		 →
↑
203.23 m
↓
↑
203.23 m
↓
S 48.294158°
W 20.113220°		 ← 203.20 m →
41 298 m²		 S 48.294158°
W 20.110474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58213 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444133758544922 y=0.653606414794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444133758544922 × 217)
    floor (0.444133758544922 × 131072)
    floor (58213.5)     		tx = 58213
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653606414794922 × 217)
    floor (0.653606414794922 × 131072)
    floor (85669.5)     		ty = 85669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58213 / 85669 ti = "17/58213/85669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58213/85669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58213 ÷ 217
    58213 ÷ 131072     		x = 0.444129943847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85669 ÷ 217
    85669 ÷ 131072     		y = 0.653602600097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444129943847656 × 2 - 1) × π
    -0.111740112304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.35104192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653602600097656 × 2 - 1) × π
    -0.307205200195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.965113600050591
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35104192} λ = -0.35104192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965113600050591))-π/2
    2×atan(0.380939922486768)-π/2
    2×0.363968076893592-π/2
    0.727936153787184-1.57079632675     		φ = -0.84286017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35104192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.113220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84286017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.292330°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58213 KachelY 85669 -0.35104192 -0.84286017 -20.113220 -48.292330
    Oben rechts KachelX + 1 58214 KachelY 85669 -0.35099398 -0.84286017 -20.110474 -48.292330
    Unten links KachelX 58213 KachelY + 1 85670 -0.35104192 -0.84289207 -20.113220 -48.294158
    Unten rechts KachelX + 1 58214 KachelY + 1 85670 -0.35099398 -0.84289207 -20.110474 -48.294158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84286017--0.84289207) × R
    3.18999999999736e-05 × 6371000     		dl = 203.234899999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84286017--0.84289207) × R
    3.18999999999736e-05 × 6371000     		dr = 203.234899999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35104192--0.35099398) × cos(-0.84286017) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665330292720564 × 6371000     		do = 203.208996998697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35104192--0.35099398) × cos(-0.84289207) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.665306477464839 × 6371000     		du = 203.201723206594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84286017)-sin(-0.84289207))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665330292720564-0.665306477464839)×R²
    abs(-0.35099398--0.35104192)×2.38152557253679e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38152557253679e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38152557253679e-05×40589641000000     		ar = 41298.4210434505m²