Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58212 / 86300
↖ ↑ ↗
← S 49.432413°
W 20.115967°		 ← 198.59 m → S 49.432413°
W 20.113220°		 →
↑
198.58 m
↓
↑
198.58 m
↓
S 49.434199°
W 20.115967°		 ← 198.58 m →
39 436 m²		 S 49.434199°
W 20.113220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86300 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444126129150391 y=0.658420562744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444126129150391 × 217)
    floor (0.444126129150391 × 131072)
    floor (58212.5)     		tx = 58212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658420562744141 × 217)
    floor (0.658420562744141 × 131072)
    floor (86300.5)     		ty = 86300
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58212 / 86300 ti = "17/58212/86300"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58212/86300.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58212 ÷ 217
    58212 ÷ 131072     		x = 0.444122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86300 ÷ 217
    86300 ÷ 131072     		y = 0.658416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.11175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35108985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.31683349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.995361783710846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35108985} λ = -0.35108985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995361783710846))-π/2
    2×atan(0.369589708817467)-π/2
    2×0.354018985041898-π/2
    0.708037970083797-1.57079632675     		φ = -0.86275836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35108985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.115967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86275836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.432413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58212 KachelY 86300 -0.35108985 -0.86275836 -20.115967 -49.432413
    Oben rechts KachelX + 1 58213 KachelY 86300 -0.35104192 -0.86275836 -20.113220 -49.432413
    Unten links KachelX 58212 KachelY + 1 86301 -0.35108985 -0.86278953 -20.115967 -49.434199
    Unten rechts KachelX + 1 58213 KachelY + 1 86301 -0.35104192 -0.86278953 -20.113220 -49.434199
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86275836--0.86278953) × R
    3.11700000000803e-05 × 6371000     		dl = 198.584070000512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86275836--0.86278953) × R
    3.11700000000803e-05 × 6371000     		dr = 198.584070000512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35108985--0.35104192) × cos(-0.86275836) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.650344586153146 × 6371000     		do = 198.590543027126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35108985--0.35104192) × cos(-0.86278953) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.650320907879151 × 6371000     		du = 198.583312581312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86275836)-sin(-0.86278953))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650344586153146-0.650320907879151)×R²
    abs(-0.35104192--0.35108985)×2.36782739950758e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.36782739950758e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.36782739950758e-05×40589641000000     		ar = 39436.2003754396m²