Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58212 / 85670
↖ ↑ ↗
← S 48.294158°
W 20.115967°		 ← 203.16 m → S 48.294158°
W 20.113220°		 →
↑
203.17 m
↓
↑
203.17 m
↓
S 48.295985°
W 20.115967°		 ← 203.15 m →
41 275 m²		 S 48.295985°
W 20.113220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444126129150391 y=0.653614044189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444126129150391 × 217)
    floor (0.444126129150391 × 131072)
    floor (58212.5)     		tx = 58212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653614044189453 × 217)
    floor (0.653614044189453 × 131072)
    floor (85670.5)     		ty = 85670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58212 / 85670 ti = "17/58212/85670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58212/85670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58212 ÷ 217
    58212 ÷ 131072     		x = 0.444122314453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85670 ÷ 217
    85670 ÷ 131072     		y = 0.653610229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444122314453125 × 2 - 1) × π
    -0.11175537109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.35108985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653610229492188 × 2 - 1) × π
    -0.307220458984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.965161536950211
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35108985} λ = -0.35108985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965161536950211))-π/2
    2×atan(0.380921661845626)-π/2
    2×0.363952130243266-π/2
    0.727904260486531-1.57079632675     		φ = -0.84289207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35108985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.115967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84289207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.294158°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58212 KachelY 85670 -0.35108985 -0.84289207 -20.115967 -48.294158
    Oben rechts KachelX + 1 58213 KachelY 85670 -0.35104192 -0.84289207 -20.113220 -48.294158
    Unten links KachelX 58212 KachelY + 1 85671 -0.35108985 -0.84292396 -20.115967 -48.295985
    Unten rechts KachelX + 1 58213 KachelY + 1 85671 -0.35104192 -0.84292396 -20.113220 -48.295985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84289207--0.84292396) × R
    3.18900000000344e-05 × 6371000     		dl = 203.171190000219m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84289207--0.84292396) × R
    3.18900000000344e-05 × 6371000     		dr = 203.171190000219m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35108985--0.35104192) × cos(-0.84289207) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.665306477464839 × 6371000     		do = 203.159336530702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35108985--0.35104192) × cos(-0.84292396) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.665282668998007 × 6371000     		du = 203.152066328939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84289207)-sin(-0.84292396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665306477464839-0.665282668998007)×R²
    abs(-0.35104192--0.35108985)×2.38084668322536e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.38084668322536e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.38084668322536e-05×40589641000000     		ar = 41275.3856182534m²