Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58211 / 86563
↖ ↑ ↗
← S 49.899942°
W 20.118713°		 ← 196.73 m → S 49.899942°
W 20.115967°		 →
↑
196.67 m
↓
↑
196.67 m
↓
S 49.901711°
W 20.118713°		 ← 196.72 m →
38 691 m²		 S 49.901711°
W 20.115967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444118499755859 y=0.660427093505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444118499755859 × 217)
    floor (0.444118499755859 × 131072)
    floor (58211.5)     		tx = 58211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660427093505859 × 217)
    floor (0.660427093505859 × 131072)
    floor (86563.5)     		ty = 86563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58211 / 86563 ti = "17/58211/86563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58211/86563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58211 ÷ 217
    58211 ÷ 131072     		x = 0.444114685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86563 ÷ 217
    86563 ÷ 131072     		y = 0.660423278808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444114685058594 × 2 - 1) × π
    -0.111770629882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35113779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660423278808594 × 2 - 1) × π
    -0.320846557617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.00796918831092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35113779} λ = -0.35113779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00796918831092))-π/2
    2×atan(0.364959391296548)-π/2
    2×0.349939020226797-π/2
    0.699878040453595-1.57079632675     		φ = -0.87091829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35113779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.118713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87091829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.899942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58211 KachelY 86563 -0.35113779 -0.87091829 -20.118713 -49.899942
    Oben rechts KachelX + 1 58212 KachelY 86563 -0.35108985 -0.87091829 -20.115967 -49.899942
    Unten links KachelX 58211 KachelY + 1 86564 -0.35113779 -0.87094916 -20.118713 -49.901711
    Unten rechts KachelX + 1 58212 KachelY + 1 86564 -0.35108985 -0.87094916 -20.115967 -49.901711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87091829--0.87094916) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dl = 196.672770000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87091829--0.87094916) × R
    3.08700000000162e-05 × 6371000     		dr = 196.672770000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35113779--0.35108985) × cos(-0.87091829) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644124399841986 × 6371000     		do = 196.732171473893m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35113779--0.35108985) × cos(-0.87094916) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644100786431451 × 6371000     		du = 196.724959330507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87091829)-sin(-0.87094916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644124399841986-0.644100786431451)×R²
    abs(-0.35108985--0.35113779)×2.36134105356944e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36134105356944e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36134105356944e-05×40589641000000     		ar = 38691.1518987954m²