Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58211 / 86557
↖ ↑ ↗
← S 49.889326°
W 20.118713°		 ← 196.78 m → S 49.889326°
W 20.115967°		 →
↑
196.80 m
↓
↑
196.80 m
↓
S 49.891096°
W 20.118713°		 ← 196.77 m →
38 725 m²		 S 49.891096°
W 20.115967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444118499755859 y=0.660381317138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444118499755859 × 217)
    floor (0.444118499755859 × 131072)
    floor (58211.5)     		tx = 58211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660381317138672 × 217)
    floor (0.660381317138672 × 131072)
    floor (86557.5)     		ty = 86557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58211 / 86557 ti = "17/58211/86557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58211/86557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58211 ÷ 217
    58211 ÷ 131072     		x = 0.444114685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86557 ÷ 217
    86557 ÷ 131072     		y = 0.660377502441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444114685058594 × 2 - 1) × π
    -0.111770629882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35113779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660377502441406 × 2 - 1) × π
    -0.320755004882812 × 3.1415926535     		Φ = -1.0076815669132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35113779} λ = -0.35113779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.0076815669132))-π/2
    2×atan(0.365064376524059)-π/2
    2×0.35003166239738-π/2
    0.70006332479476-1.57079632675     		φ = -0.87073300
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35113779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.118713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87073300 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.889326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58211 KachelY 86557 -0.35113779 -0.87073300 -20.118713 -49.889326
    Oben rechts KachelX + 1 58212 KachelY 86557 -0.35108985 -0.87073300 -20.115967 -49.889326
    Unten links KachelX 58211 KachelY + 1 86558 -0.35113779 -0.87076389 -20.118713 -49.891096
    Unten rechts KachelX + 1 58212 KachelY + 1 86558 -0.35108985 -0.87076389 -20.115967 -49.891096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87073300--0.87076389) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dl = 196.800190000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87073300--0.87076389) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dr = 196.800190000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35113779--0.35108985) × cos(-0.87073300) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644266120950234 × 6371000     		do = 196.775456748253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35113779--0.35108985) × cos(-0.87076389) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644242495927938 × 6371000     		du = 196.768241058336m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87073300)-sin(-0.87076389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644266120950234-0.644242495927938)×R²
    abs(-0.35108985--0.35113779)×2.36250222950263e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36250222950263e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36250222950263e-05×40589641000000     		ar = 38724.7372538506m²