Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58211 / 86554
↖ ↑ ↗
← S 49.884017°
W 20.118713°		 ← 196.80 m → S 49.884017°
W 20.115967°		 →
↑
196.80 m
↓
↑
196.80 m
↓
S 49.885787°
W 20.118713°		 ← 196.79 m →
38 729 m²		 S 49.885787°
W 20.115967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444118499755859 y=0.660358428955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444118499755859 × 217)
    floor (0.444118499755859 × 131072)
    floor (58211.5)     		tx = 58211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660358428955078 × 217)
    floor (0.660358428955078 × 131072)
    floor (86554.5)     		ty = 86554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58211 / 86554 ti = "17/58211/86554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58211/86554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58211 ÷ 217
    58211 ÷ 131072     		x = 0.444114685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86554 ÷ 217
    86554 ÷ 131072     		y = 0.660354614257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444114685058594 × 2 - 1) × π
    -0.111770629882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35113779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660354614257812 × 2 - 1) × π
    -0.320709228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.00753775621434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35113779} λ = -0.35113779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00753775621434))-π/2
    2×atan(0.365116880462399)-π/2
    2×0.35007799112548-π/2
    0.70015598225096-1.57079632675     		φ = -0.87064034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35113779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.118713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87064034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.884017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58211 KachelY 86554 -0.35113779 -0.87064034 -20.118713 -49.884017
    Oben rechts KachelX + 1 58212 KachelY 86554 -0.35108985 -0.87064034 -20.115967 -49.884017
    Unten links KachelX 58211 KachelY + 1 86555 -0.35113779 -0.87067123 -20.118713 -49.885787
    Unten rechts KachelX + 1 58212 KachelY + 1 86555 -0.35108985 -0.87067123 -20.115967 -49.885787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87064034--0.87067123) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dl = 196.800190000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87064034--0.87067123) × R
    3.08900000000056e-05 × 6371000     		dr = 196.800190000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35113779--0.35108985) × cos(-0.87064034) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.64433698468109 × 6371000     		do = 196.797100355689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35113779--0.35108985) × cos(-0.87067123) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.644313361502924 × 6371000     		du = 196.789885229017m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87064034)-sin(-0.87067123))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64433698468109-0.644313361502924)×R²
    abs(-0.35108985--0.35113779)×2.36231781655105e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36231781655105e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36231781655105e-05×40589641000000     		ar = 38728.9967754607m²