Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58211 / 86373
↖ ↑ ↗
← S 49.562633°
W 20.118713°		 ← 198.10 m → S 49.562633°
W 20.115967°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
S 49.564415°
W 20.118713°		 ← 198.10 m →
39 251 m²		 S 49.564415°
W 20.115967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58211 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444118499755859 y=0.658977508544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444118499755859 × 217)
    floor (0.444118499755859 × 131072)
    floor (58211.5)     		tx = 58211
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658977508544922 × 217)
    floor (0.658977508544922 × 131072)
    floor (86373.5)     		ty = 86373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58211 / 86373 ti = "17/58211/86373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58211/86373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58211 ÷ 217
    58211 ÷ 131072     		x = 0.444114685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86373 ÷ 217
    86373 ÷ 131072     		y = 0.658973693847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444114685058594 × 2 - 1) × π
    -0.111770629882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.35113779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658973693847656 × 2 - 1) × π
    -0.317947387695312 × 3.1415926535     		Φ = -0.99886117738311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35113779} λ = -0.35113779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.99886117738311))-π/2
    2×atan(0.368298629244462)-π/2
    2×0.352882591247019-π/2
    0.705765182494038-1.57079632675     		φ = -0.86503114
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35113779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.118713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86503114 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.562633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58211 KachelY 86373 -0.35113779 -0.86503114 -20.118713 -49.562633
    Oben rechts KachelX + 1 58212 KachelY 86373 -0.35108985 -0.86503114 -20.115967 -49.562633
    Unten links KachelX 58211 KachelY + 1 86374 -0.35113779 -0.86506224 -20.118713 -49.564415
    Unten rechts KachelX + 1 58212 KachelY + 1 86374 -0.35108985 -0.86506224 -20.115967 -49.564415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86503114--0.86506224) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dl = 198.138099999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86503114--0.86506224) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dr = 198.138099999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35113779--0.35108985) × cos(-0.86503114) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648616414865582 × 6371000     		do = 198.104148486567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35113779--0.35108985) × cos(-0.86506224) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.648592743861046 × 6371000     		du = 198.09691875249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86503114)-sin(-0.86506224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648616414865582-0.648592743861046)×R²
    abs(-0.35108985--0.35113779)×2.36710045358191e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36710045358191e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36710045358191e-05×40589641000000     		ar = 39251.263343571m²