Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58210 / 86634
↖ ↑ ↗
← S 50.025387°
W 20.121460°		 ← 196.22 m → S 50.025387°
W 20.118713°		 →
↑
196.23 m
↓
↑
196.23 m
↓
S 50.027152°
W 20.121460°		 ← 196.21 m →
38 503 m²		 S 50.027152°
W 20.118713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86634 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444110870361328 y=0.660968780517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444110870361328 × 217)
    floor (0.444110870361328 × 131072)
    floor (58210.5)     		tx = 58210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660968780517578 × 217)
    floor (0.660968780517578 × 131072)
    floor (86634.5)     		ty = 86634
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58210 / 86634 ti = "17/58210/86634"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58210/86634.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58210 ÷ 217
    58210 ÷ 131072     		x = 0.444107055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86634 ÷ 217
    86634 ÷ 131072     		y = 0.660964965820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444107055664062 × 2 - 1) × π
    -0.111785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35118573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660964965820312 × 2 - 1) × π
    -0.321929931640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.01137270818394
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35118573} λ = -0.35118573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01137270818394))-π/2
    2×atan(0.363719356194521)-π/2
    2×0.348844301626671-π/2
    0.697688603253341-1.57079632675     		φ = -0.87310772
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35118573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.121460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87310772 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.025387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58210 KachelY 86634 -0.35118573 -0.87310772 -20.121460 -50.025387
    Oben rechts KachelX + 1 58211 KachelY 86634 -0.35113779 -0.87310772 -20.118713 -50.025387
    Unten links KachelX 58210 KachelY + 1 86635 -0.35118573 -0.87313852 -20.121460 -50.027152
    Unten rechts KachelX + 1 58211 KachelY + 1 86635 -0.35113779 -0.87313852 -20.118713 -50.027152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87310772--0.87313852) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dl = 196.226799999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87310772--0.87313852) × R
    3.07999999999975e-05 × 6371000     		dr = 196.226799999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35118573--0.35113779) × cos(-0.87310772) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642448116899012 × 6371000     		do = 196.220191515359m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35118573--0.35113779) × cos(-0.87313852) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.642424513655446 × 6371000     		du = 196.212982477226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87310772)-sin(-0.87313852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642448116899012-0.642424513655446)×R²
    abs(-0.35113779--0.35118573)×2.36032435662059e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36032435662059e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36032435662059e-05×40589641000000     		ar = 38502.9529763031m²