Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58210 / 86566
↖ ↑ ↗
← S 49.905249°
W 20.121460°		 ← 196.71 m → S 49.905249°
W 20.118713°		 →
↑
196.74 m
↓
↑
196.74 m
↓
S 49.907018°
W 20.121460°		 ← 196.70 m →
38 699 m²		 S 49.907018°
W 20.118713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86566 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444110870361328 y=0.660449981689453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444110870361328 × 217)
    floor (0.444110870361328 × 131072)
    floor (58210.5)     		tx = 58210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.660449981689453 × 217)
    floor (0.660449981689453 × 131072)
    floor (86566.5)     		ty = 86566
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58210 / 86566 ti = "17/58210/86566"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58210/86566.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58210 ÷ 217
    58210 ÷ 131072     		x = 0.444107055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86566 ÷ 217
    86566 ÷ 131072     		y = 0.660446166992188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444107055664062 × 2 - 1) × π
    -0.111785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35118573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.660446166992188 × 2 - 1) × π
    -0.320892333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.00811299900978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35118573} λ = -0.35118573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00811299900978))-π/2
    2×atan(0.364906910005206)-π/2
    2×0.349892706783989-π/2
    0.699785413567978-1.57079632675     		φ = -0.87101091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35118573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.121460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87101091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.905249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58210 KachelY 86566 -0.35118573 -0.87101091 -20.121460 -49.905249
    Oben rechts KachelX + 1 58211 KachelY 86566 -0.35113779 -0.87101091 -20.118713 -49.905249
    Unten links KachelX 58210 KachelY + 1 86567 -0.35118573 -0.87104179 -20.121460 -49.907018
    Unten rechts KachelX + 1 58211 KachelY + 1 86567 -0.35113779 -0.87104179 -20.118713 -49.907018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87101091--0.87104179) × R
    3.08800000000664e-05 × 6371000     		dl = 196.736480000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87101091--0.87104179) × R
    3.08800000000664e-05 × 6371000     		dr = 196.736480000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35118573--0.35113779) × cos(-0.87101091) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644053550119197 × 6371000     		do = 196.710532144654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35118573--0.35113779) × cos(-0.87104179) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.644029927217126 × 6371000     		du = 196.703317102308m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87101091)-sin(-0.87104179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.644053550119197-0.644029927217126)×R²
    abs(-0.35113779--0.35118573)×2.36229020709189e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36229020709189e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36229020709189e-05×40589641000000     		ar = 38699.4279450851m²