Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58210 / 86445
↖ ↑ ↗
← S 49.690732°
W 20.121460°		 ← 197.58 m → S 49.690732°
W 20.118713°		 →
↑
197.56 m
↓
↑
197.56 m
↓
S 49.692509°
W 20.121460°		 ← 197.58 m →
39 035 m²		 S 49.692509°
W 20.118713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86445 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444110870361328 y=0.659526824951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444110870361328 × 217)
    floor (0.444110870361328 × 131072)
    floor (58210.5)     		tx = 58210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659526824951172 × 217)
    floor (0.659526824951172 × 131072)
    floor (86445.5)     		ty = 86445
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58210 / 86445 ti = "17/58210/86445"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58210/86445.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58210 ÷ 217
    58210 ÷ 131072     		x = 0.444107055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86445 ÷ 217
    86445 ÷ 131072     		y = 0.659523010253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444107055664062 × 2 - 1) × π
    -0.111785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35118573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659523010253906 × 2 - 1) × π
    -0.319046020507812 × 3.1415926535     		Φ = -1.00231263415575
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35118573} λ = -0.35118573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00231263415575))-π/2
    2×atan(0.367029653613197)-π/2
    2×0.351764725362545-π/2
    0.70352945072509-1.57079632675     		φ = -0.86726688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35118573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.121460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86726688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.690732°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58210 KachelY 86445 -0.35118573 -0.86726688 -20.121460 -49.690732
    Oben rechts KachelX + 1 58211 KachelY 86445 -0.35113779 -0.86726688 -20.118713 -49.690732
    Unten links KachelX 58210 KachelY + 1 86446 -0.35118573 -0.86729789 -20.121460 -49.692509
    Unten rechts KachelX + 1 58211 KachelY + 1 86446 -0.35113779 -0.86729789 -20.118713 -49.692509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86726688--0.86729789) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dl = 197.564710000341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86726688--0.86729789) × R
    3.10100000000535e-05 × 6371000     		dr = 197.564710000341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35118573--0.35113779) × cos(-0.86726688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646913138935675 × 6371000     		do = 197.583924175022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35118573--0.35113779) × cos(-0.86729789) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.646889491524419 × 6371000     		du = 197.57670164694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86726688)-sin(-0.86729789))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646913138935675-0.646889491524419)×R²
    abs(-0.35113779--0.35118573)×2.36474112558227e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36474112558227e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36474112558227e-05×40589641000000     		ar = 39034.8972252494m²