Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58210 / 86434
↖ ↑ ↗
← S 49.671183°
W 20.121460°		 ← 197.66 m → S 49.671183°
W 20.118713°		 →
↑
197.63 m
↓
↑
197.63 m
↓
S 49.672961°
W 20.121460°		 ← 197.66 m →
39 063 m²		 S 49.672961°
W 20.118713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444110870361328 y=0.659442901611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444110870361328 × 217)
    floor (0.444110870361328 × 131072)
    floor (58210.5)     		tx = 58210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659442901611328 × 217)
    floor (0.659442901611328 × 131072)
    floor (86434.5)     		ty = 86434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58210 / 86434 ti = "17/58210/86434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58210/86434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58210 ÷ 217
    58210 ÷ 131072     		x = 0.444107055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86434 ÷ 217
    86434 ÷ 131072     		y = 0.659439086914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444107055664062 × 2 - 1) × π
    -0.111785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35118573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659439086914062 × 2 - 1) × π
    -0.318878173828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.00178532825993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35118573} λ = -0.35118573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00178532825993))-π/2
    2×atan(0.367223241549033)-π/2
    2×0.351935320212314-π/2
    0.703870640424628-1.57079632675     		φ = -0.86692569
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35118573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.121460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86692569 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.671183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58210 KachelY 86434 -0.35118573 -0.86692569 -20.121460 -49.671183
    Oben rechts KachelX + 1 58211 KachelY 86434 -0.35113779 -0.86692569 -20.118713 -49.671183
    Unten links KachelX 58210 KachelY + 1 86435 -0.35118573 -0.86695671 -20.121460 -49.672961
    Unten rechts KachelX + 1 58211 KachelY + 1 86435 -0.35113779 -0.86695671 -20.118713 -49.672961
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86692569--0.86695671) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dl = 197.628419999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86692569--0.86695671) × R
    3.10199999999927e-05 × 6371000     		dr = 197.628419999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35118573--0.35113779) × cos(-0.86692569) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.647173280384336 × 6371000     		do = 197.663378069484m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35118573--0.35113779) × cos(-0.86695671) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.647149632195237 × 6371000     		du = 197.656155303829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86692569)-sin(-0.86695671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.647173280384336-0.647149632195237)×R²
    abs(-0.35113779--0.35118573)×2.36481890985019e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36481890985019e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36481890985019e-05×40589641000000     		ar = 39063.1873908251m²