Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58210 / 38049
↖ ↑ ↗
← N 60.019580°
W 20.121460°		 ← 152.62 m → N 60.019580°
W 20.118713°		 →
↑
152.59 m
↓
↑
152.59 m
↓
N 60.018207°
W 20.121460°		 ← 152.63 m →
23 288 m²		 N 60.018207°
W 20.118713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444110870361328 y=0.290294647216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444110870361328 × 217)
    floor (0.444110870361328 × 131072)
    floor (58210.5)     		tx = 58210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290294647216797 × 217)
    floor (0.290294647216797 × 131072)
    floor (38049.5)     		ty = 38049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58210 / 38049 ti = "17/58210/38049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58210/38049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58210 ÷ 217
    58210 ÷ 131072     		x = 0.444107055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38049 ÷ 217
    38049 ÷ 131072     		y = 0.290290832519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444107055664062 × 2 - 1) × π
    -0.111785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35118573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290290832519531 × 2 - 1) × π
    0.419418334960938 × 3.1415926535     		Φ = 1.31764155985648
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35118573} λ = -0.35118573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31764155985648))-π/2
    2×atan(3.73460314473485)-π/2
    2×1.30916780413833-π/2
    2.61833560827666-1.57079632675     		φ = 1.04753928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35118573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.121460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04753928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.019580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58210 KachelY 38049 -0.35118573 1.04753928 -20.121460 60.019580
    Oben rechts KachelX + 1 58211 KachelY 38049 -0.35113779 1.04753928 -20.118713 60.019580
    Unten links KachelX 58210 KachelY + 1 38050 -0.35118573 1.04751533 -20.121460 60.018207
    Unten rechts KachelX + 1 58211 KachelY + 1 38050 -0.35113779 1.04751533 -20.118713 60.018207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04753928-1.04751533) × R
    2.39500000001058e-05 × 6371000     		dl = 152.585450000674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04753928-1.04751533) × R
    2.39500000001058e-05 × 6371000     		dr = 152.585450000674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35118573--0.35113779) × cos(1.04753928) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.499704024986165 × 6371000     		do = 152.622471612278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35118573--0.35113779) × cos(1.04751533) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.49972477024226 × 6371000     		du = 152.628807747472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04753928)-sin(1.04751533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.499704024986165-0.49972477024226)×R²
    abs(-0.35113779--0.35118573)×2.07452560942456e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07452560942456e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07452560942456e-05×40589641000000     		ar = 23288.4519133685m²