Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58210 / 29309
↖ ↑ ↗
← N 70.023403°
W 20.121460°		 ← 104.34 m → N 70.023403°
W 20.118713°		 →
↑
104.36 m
↓
↑
104.36 m
↓
N 70.022464°
W 20.121460°		 ← 104.35 m →
10 889 m²		 N 70.022464°
W 20.118713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58210 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444110870361328 y=0.223613739013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444110870361328 × 217)
    floor (0.444110870361328 × 131072)
    floor (58210.5)     		tx = 58210
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223613739013672 × 217)
    floor (0.223613739013672 × 131072)
    floor (29309.5)     		ty = 29309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58210 / 29309 ti = "17/58210/29309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58210/29309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58210 ÷ 217
    58210 ÷ 131072     		x = 0.444107055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29309 ÷ 217
    29309 ÷ 131072     		y = 0.223609924316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444107055664062 × 2 - 1) × π
    -0.111785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.35118573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223609924316406 × 2 - 1) × π
    0.552780151367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.73661006253577
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35118573} λ = -0.35118573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.73661006253577))-π/2
    2×atan(5.6780624838096)-π/2
    2×1.3964676268242-π/2
    2.79293525364841-1.57079632675     		φ = 1.22213893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35118573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.121460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22213893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.023403°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58210 KachelY 29309 -0.35118573 1.22213893 -20.121460 70.023403
    Oben rechts KachelX + 1 58211 KachelY 29309 -0.35113779 1.22213893 -20.118713 70.023403
    Unten links KachelX 58210 KachelY + 1 29310 -0.35118573 1.22212255 -20.121460 70.022464
    Unten rechts KachelX + 1 58211 KachelY + 1 29310 -0.35113779 1.22212255 -20.118713 70.022464
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22213893-1.22212255) × R
    1.63800000001491e-05 × 6371000     		dl = 104.35698000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22213893-1.22212255) × R
    1.63800000001491e-05 × 6371000     		dr = 104.35698000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35118573--0.35113779) × cos(1.22213893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341636293968405 × 6371000     		do = 104.344517896089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35118573--0.35113779) × cos(1.22212255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.341651688374693 × 6371000     		du = 104.349219744022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22213893)-sin(1.22212255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341636293968405-0.341651688374693)×R²
    abs(-0.35113779--0.35118573)×1.53944062881717e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53944062881717e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53944062881717e-05×40589641000000     		ar = 10889.3241030168m²