Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58209 / 86303
↖ ↑ ↗
← S 49.437771°
W 20.124206°		 ← 198.57 m → S 49.437771°
W 20.121460°		 →
↑
198.58 m
↓
↑
198.58 m
↓
S 49.439557°
W 20.124206°		 ← 198.56 m →
39 432 m²		 S 49.439557°
W 20.121460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444103240966797 y=0.658443450927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444103240966797 × 217)
    floor (0.444103240966797 × 131072)
    floor (58209.5)     		tx = 58209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658443450927734 × 217)
    floor (0.658443450927734 × 131072)
    floor (86303.5)     		ty = 86303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58209 / 86303 ti = "17/58209/86303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58209/86303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58209 ÷ 217
    58209 ÷ 131072     		x = 0.444099426269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86303 ÷ 217
    86303 ÷ 131072     		y = 0.658439636230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444099426269531 × 2 - 1) × π
    -0.111801147460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35123366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658439636230469 × 2 - 1) × π
    -0.316879272460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.995505594409706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35123366} λ = -0.35123366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.995505594409706))-π/2
    2×atan(0.369536561684806)-π/2
    2×0.353972224341285-π/2
    0.707944448682571-1.57079632675     		φ = -0.86285188
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35123366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.124206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86285188 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.437771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58209 KachelY 86303 -0.35123366 -0.86285188 -20.124206 -49.437771
    Oben rechts KachelX + 1 58210 KachelY 86303 -0.35118573 -0.86285188 -20.121460 -49.437771
    Unten links KachelX 58209 KachelY + 1 86304 -0.35123366 -0.86288305 -20.124206 -49.439557
    Unten rechts KachelX + 1 58210 KachelY + 1 86304 -0.35118573 -0.86288305 -20.121460 -49.439557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86285188--0.86288305) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dl = 198.584069999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86285188--0.86288305) × R
    3.11699999999693e-05 × 6371000     		dr = 198.584069999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35123366--0.35118573) × cos(-0.86285188) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.650273541838687 × 6371000     		do = 198.568848791273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35123366--0.35118573) × cos(-0.86288305) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.650249861669064 × 6371000     		du = 198.561617766606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86285188)-sin(-0.86288305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650273541838687-0.650249861669064)×R²
    abs(-0.35118573--0.35123366)×2.36801696233968e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36801696233968e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36801696233968e-05×40589641000000     		ar = 39431.8921881049m²