Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58209 / 38047
↖ ↑ ↗
← N 60.022325°
W 20.124206°		 ← 152.58 m → N 60.022325°
W 20.121460°		 →
↑
152.59 m
↓
↑
152.59 m
↓
N 60.020952°
W 20.124206°		 ← 152.58 m →
23 282 m²		 N 60.020952°
W 20.121460°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38047 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444103240966797 y=0.290279388427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444103240966797 × 217)
    floor (0.444103240966797 × 131072)
    floor (58209.5)     		tx = 58209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.290279388427734 × 217)
    floor (0.290279388427734 × 131072)
    floor (38047.5)     		ty = 38047
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58209 / 38047 ti = "17/58209/38047"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58209/38047.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58209 ÷ 217
    58209 ÷ 131072     		x = 0.444099426269531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38047 ÷ 217
    38047 ÷ 131072     		y = 0.290275573730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444099426269531 × 2 - 1) × π
    -0.111801147460938 × 3.1415926535     		Λ = -0.35123366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.290275573730469 × 2 - 1) × π
    0.419448852539062 × 3.1415926535     		Φ = 1.31773743365572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35123366} λ = -0.35123366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31773743365572))-π/2
    2×atan(3.73496121249137)-π/2
    2×1.30919175740532-π/2
    2.61838351481065-1.57079632675     		φ = 1.04758719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35123366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.124206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04758719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.022325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58209 KachelY 38047 -0.35123366 1.04758719 -20.124206 60.022325
    Oben rechts KachelX + 1 58210 KachelY 38047 -0.35118573 1.04758719 -20.121460 60.022325
    Unten links KachelX 58209 KachelY + 1 38048 -0.35123366 1.04756324 -20.124206 60.020952
    Unten rechts KachelX + 1 58210 KachelY + 1 38048 -0.35118573 1.04756324 -20.121460 60.020952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04758719-1.04756324) × R
    2.39500000001058e-05 × 6371000     		dl = 152.585450000674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04758719-1.04756324) × R
    2.39500000001058e-05 × 6371000     		dr = 152.585450000674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35123366--0.35118573) × cos(1.04758719) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.499662524951893 × 6371000     		do = 152.577962934329m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35123366--0.35118573) × cos(1.04756324) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.499683270781358 × 6371000     		du = 152.584297922929m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04758719)-sin(1.04756324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.499662524951893-0.499683270781358)×R²
    abs(-0.35118573--0.35123366)×2.07458294649854e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.07458294649854e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.07458294649854e-05×40589641000000     		ar = 23281.6604490364m²