Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58208 / 86495
↖ ↑ ↗
← S 49.779491°
W 20.126953°		 ← 197.22 m → S 49.779491°
W 20.124206°		 →
↑
197.18 m
↓
↑
197.18 m
↓
S 49.781264°
W 20.126953°		 ← 197.22 m →
38 888 m²		 S 49.781264°
W 20.124206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444095611572266 y=0.659908294677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444095611572266 × 217)
    floor (0.444095611572266 × 131072)
    floor (58208.5)     		tx = 58208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659908294677734 × 217)
    floor (0.659908294677734 × 131072)
    floor (86495.5)     		ty = 86495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58208 / 86495 ti = "17/58208/86495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58208/86495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58208 ÷ 217
    58208 ÷ 131072     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86495 ÷ 217
    86495 ÷ 131072     		y = 0.659904479980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659904479980469 × 2 - 1) × π
    -0.319808959960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.00470947913676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00470947913676))-π/2
    2×atan(0.366150993856318)-π/2
    2×0.350990158485838-π/2
    0.701980316971676-1.57079632675     		φ = -0.86881601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86881601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.779491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58208 KachelY 86495 -0.35128160 -0.86881601 -20.126953 -49.779491
    Oben rechts KachelX + 1 58209 KachelY 86495 -0.35123366 -0.86881601 -20.124206 -49.779491
    Unten links KachelX 58208 KachelY + 1 86496 -0.35128160 -0.86884696 -20.126953 -49.781264
    Unten rechts KachelX + 1 58209 KachelY + 1 86496 -0.35123366 -0.86884696 -20.124206 -49.781264
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86881601--0.86884696) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dl = 197.182449999835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86881601--0.86884696) × R
    3.09499999999741e-05 × 6371000     		dr = 197.182449999835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.35123366) × cos(-0.86881601) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645731052877422 × 6371000     		do = 197.222884666165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.35123366) × cos(-0.86884696) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.645707420233467 × 6371000     		du = 197.215666648397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86881601)-sin(-0.86884696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.645731052877422-0.645707420233467)×R²
    abs(-0.35123366--0.35128160)×2.36326439552181e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36326439552181e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36326439552181e-05×40589641000000     		ar = 38888.1799643127m²