Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58208 / 85790
↖ ↑ ↗
← S 48.512966°
W 20.126953°		 ← 202.33 m → S 48.512966°
W 20.124206°		 →
↑
202.28 m
↓
↑
202.28 m
↓
S 48.514785°
W 20.126953°		 ← 202.32 m →
40 926 m²		 S 48.514785°
W 20.124206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444095611572266 y=0.654529571533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444095611572266 × 217)
    floor (0.444095611572266 × 131072)
    floor (58208.5)     		tx = 58208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654529571533203 × 217)
    floor (0.654529571533203 × 131072)
    floor (85790.5)     		ty = 85790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58208 / 85790 ti = "17/58208/85790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58208/85790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58208 ÷ 217
    58208 ÷ 131072     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85790 ÷ 217
    85790 ÷ 131072     		y = 0.654525756835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654525756835938 × 2 - 1) × π
    -0.309051513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.970913964904617
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.970913964904617))-π/2
    2×atan(0.378736727792479)-π/2
    2×0.362042674204212-π/2
    0.724085348408424-1.57079632675     		φ = -0.84671098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84671098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.512966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58208 KachelY 85790 -0.35128160 -0.84671098 -20.126953 -48.512966
    Oben rechts KachelX + 1 58209 KachelY 85790 -0.35123366 -0.84671098 -20.124206 -48.512966
    Unten links KachelX 58208 KachelY + 1 85791 -0.35128160 -0.84674273 -20.126953 -48.514785
    Unten rechts KachelX + 1 58209 KachelY + 1 85791 -0.35123366 -0.84674273 -20.124206 -48.514785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84671098--0.84674273) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dl = 202.279249999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84671098--0.84674273) × R
    3.17499999999971e-05 × 6371000     		dr = 202.279249999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.35123366) × cos(-0.84671098) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662450547977106 × 6371000     		do = 202.329448829415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.35123366) × cos(-0.84674273) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.662426763538898 × 6371000     		du = 202.322184449775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84671098)-sin(-0.84674273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662450547977106-0.662426763538898)×R²
    abs(-0.35123366--0.35128160)×2.3784438207719e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.3784438207719e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.3784438207719e-05×40589641000000     		ar = 40926.3144489622m²