Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 58208 / 85344
↖ ↑ ↗
← S 47.694974°
W 20.126953°		 ← 205.58 m → S 47.694974°
W 20.124206°		 →
↑
205.53 m
↓
↑
205.53 m
↓
S 47.696823°
W 20.126953°		 ← 205.57 m →
42 251 m²		 S 47.696823°
W 20.124206°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58208 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85344 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444095611572266 y=0.651126861572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444095611572266 × 217)
    floor (0.444095611572266 × 131072)
    floor (58208.5)     		tx = 58208
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651126861572266 × 217)
    floor (0.651126861572266 × 131072)
    floor (85344.5)     		ty = 85344
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58208 / 85344 ti = "17/58208/85344"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58208/85344.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58208 ÷ 217
    58208 ÷ 131072     		x = 0.444091796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85344 ÷ 217
    85344 ÷ 131072     		y = 0.651123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444091796875 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.35128160
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651123046875 × 2 - 1) × π
    -0.30224609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.949534107674072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35128160} λ = -0.35128160}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.949534107674072))-π/2
    2×atan(0.386921245108133)-π/2
    2×0.369180993946721-π/2
    0.738361987893442-1.57079632675     		φ = -0.83243434
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35128160} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.126953°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83243434 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.694974°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58208 KachelY 85344 -0.35128160 -0.83243434 -20.126953 -47.694974
    Oben rechts KachelX + 1 58209 KachelY 85344 -0.35123366 -0.83243434 -20.124206 -47.694974
    Unten links KachelX 58208 KachelY + 1 85345 -0.35128160 -0.83246660 -20.126953 -47.696823
    Unten rechts KachelX + 1 58209 KachelY + 1 85345 -0.35123366 -0.83246660 -20.124206 -47.696823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83243434--0.83246660) × R
    3.22599999998952e-05 × 6371000     		dl = 205.528459999332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83243434--0.83246660) × R
    3.22599999998952e-05 × 6371000     		dr = 205.528459999332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35128160--0.35123366) × cos(-0.83243434) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.673077386331862 × 6371000     		do = 205.575158797778m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35128160--0.35123366) × cos(-0.83246660) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.67305352738697 × 6371000     		du = 205.567871661879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83243434)-sin(-0.83246660))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673077386331862-0.67305352738697)×R²
    abs(-0.35123366--0.35128160)×2.38589448914306e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38589448914306e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38589448914306e-05×40589641000000     		ar = 42250.7969486218m²