Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58206 / 86494
↖ ↑ ↗
← S 49.777717°
W 20.132446°		 ← 197.19 m → S 49.777717°
W 20.129700°		 →
↑
197.25 m
↓
↑
197.25 m
↓
S 49.779491°
W 20.132446°		 ← 197.18 m →
38 894 m²		 S 49.779491°
W 20.129700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444080352783203 y=0.659900665283203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444080352783203 × 217)
    floor (0.444080352783203 × 131072)
    floor (58206.5)     		tx = 58206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.659900665283203 × 217)
    floor (0.659900665283203 × 131072)
    floor (86494.5)     		ty = 86494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58206 / 86494 ti = "17/58206/86494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58206/86494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58206 ÷ 217
    58206 ÷ 131072     		x = 0.444076538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86494 ÷ 217
    86494 ÷ 131072     		y = 0.659896850585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444076538085938 × 2 - 1) × π
    -0.111846923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35137747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.659896850585938 × 2 - 1) × π
    -0.319793701171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.00466154223714
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35137747} λ = -0.35137747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.00466154223714))-π/2
    2×atan(0.366168546420461)-π/2
    2×0.351005635941429-π/2
    0.702011271882858-1.57079632675     		φ = -0.86878505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35137747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.132446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86878505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.777717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58206 KachelY 86494 -0.35137747 -0.86878505 -20.132446 -49.777717
    Oben rechts KachelX + 1 58207 KachelY 86494 -0.35132954 -0.86878505 -20.129700 -49.777717
    Unten links KachelX 58206 KachelY + 1 86495 -0.35137747 -0.86881601 -20.132446 -49.779491
    Unten rechts KachelX + 1 58207 KachelY + 1 86495 -0.35132954 -0.86881601 -20.129700 -49.779491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86878505--0.86881601) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dl = 197.246160000155m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86878505--0.86881601) × R
    3.09600000000243e-05 × 6371000     		dr = 197.246160000155m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35137747--0.35132954) × cos(-0.86878505) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.64575469253828 × 6371000     		do = 197.188963795636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35137747--0.35132954) × cos(-0.86881601) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.645731052877422 × 6371000     		du = 197.181745140808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86878505)-sin(-0.86881601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64575469253828-0.645731052877422)×R²
    abs(-0.35132954--0.35137747)×2.36396608572775e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.36396608572775e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.36396608572775e-05×40589641000000     		ar = 38894.0539802944m²