Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58206 / 86121
↖ ↑ ↗
← S 49.111635°
W 20.132446°		 ← 199.89 m → S 49.111635°
W 20.129700°		 →
↑
199.92 m
↓
↑
199.92 m
↓
S 49.113433°
W 20.132446°		 ← 199.88 m →
39 961 m²		 S 49.113433°
W 20.129700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86121 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444080352783203 y=0.657054901123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444080352783203 × 217)
    floor (0.444080352783203 × 131072)
    floor (58206.5)     		tx = 58206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657054901123047 × 217)
    floor (0.657054901123047 × 131072)
    floor (86121.5)     		ty = 86121
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58206 / 86121 ti = "17/58206/86121"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58206/86121.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58206 ÷ 217
    58206 ÷ 131072     		x = 0.444076538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86121 ÷ 217
    86121 ÷ 131072     		y = 0.657051086425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444076538085938 × 2 - 1) × π
    -0.111846923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35137747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.657051086425781 × 2 - 1) × π
    -0.314102172851562 × 3.1415926535     		Φ = -0.986781078678856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35137747} λ = -0.35137747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.986781078678856))-π/2
    2×atan(0.372774694259878)-π/2
    2×0.356818291397035-π/2
    0.713636582794071-1.57079632675     		φ = -0.85715974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35137747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.132446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85715974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.111635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58206 KachelY 86121 -0.35137747 -0.85715974 -20.132446 -49.111635
    Oben rechts KachelX + 1 58207 KachelY 86121 -0.35132954 -0.85715974 -20.129700 -49.111635
    Unten links KachelX 58206 KachelY + 1 86122 -0.35137747 -0.85719112 -20.132446 -49.113433
    Unten rechts KachelX + 1 58207 KachelY + 1 86122 -0.35132954 -0.85719112 -20.129700 -49.113433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85715974--0.85719112) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dl = 199.921980000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85715974--0.85719112) × R
    3.13800000000253e-05 × 6371000     		dr = 199.921980000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35137747--0.35132954) × cos(-0.85715974) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.654587303557884 × 6371000     		do = 199.886107826784m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35137747--0.35132954) × cos(-0.85719112) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.654563580381849 × 6371000     		du = 199.878863669592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85715974)-sin(-0.85719112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654587303557884-0.654563580381849)×R²
    abs(-0.35132954--0.35137747)×2.3723176035273e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3723176035273e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3723176035273e-05×40589641000000     		ar = 39960.9023213099m²