Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58206 / 86120
↖ ↑ ↗
← S 49.109838°
W 20.132446°		 ← 199.89 m → S 49.109838°
W 20.129700°		 →
↑
199.92 m
↓
↑
199.92 m
↓
S 49.111635°
W 20.132446°		 ← 199.89 m →
39 962 m²		 S 49.111635°
W 20.129700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58206 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444080352783203 y=0.657047271728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444080352783203 × 217)
    floor (0.444080352783203 × 131072)
    floor (58206.5)     		tx = 58206
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657047271728516 × 217)
    floor (0.657047271728516 × 131072)
    floor (86120.5)     		ty = 86120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58206 / 86120 ti = "17/58206/86120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58206/86120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58206 ÷ 217
    58206 ÷ 131072     		x = 0.444076538085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86120 ÷ 217
    86120 ÷ 131072     		y = 0.65704345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444076538085938 × 2 - 1) × π
    -0.111846923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.35137747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65704345703125 × 2 - 1) × π
    -0.3140869140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.986733141779236
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35137747} λ = -0.35137747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.986733141779236))-π/2
    2×atan(0.372792564351293)-π/2
    2×0.356833981124185-π/2
    0.713667962248371-1.57079632675     		φ = -0.85712836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35137747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.132446°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85712836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.109838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58206 KachelY 86120 -0.35137747 -0.85712836 -20.132446 -49.109838
    Oben rechts KachelX + 1 58207 KachelY 86120 -0.35132954 -0.85712836 -20.129700 -49.109838
    Unten links KachelX 58206 KachelY + 1 86121 -0.35137747 -0.85715974 -20.132446 -49.111635
    Unten rechts KachelX + 1 58207 KachelY + 1 86121 -0.35132954 -0.85715974 -20.129700 -49.111635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85712836--0.85715974) × R
    3.13799999999143e-05 × 6371000     		dl = 199.921979999454m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85712836--0.85715974) × R
    3.13799999999143e-05 × 6371000     		dr = 199.921979999454m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35137747--0.35132954) × cos(-0.85712836) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.654611026089344 × 6371000     		do = 199.893351787148m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35137747--0.35132954) × cos(-0.85715974) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.654587303557884 × 6371000     		du = 199.886107826784m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85712836)-sin(-0.85715974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.654611026089344-0.654587303557884)×R²
    abs(-0.35132954--0.35137747)×2.37225314601019e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37225314601019e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37225314601019e-05×40589641000000     		ar = 39962.3505679602m²