Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 58205 / 86687
↖ ↑ ↗
← S 50.118817°
W 20.135193°		 ← 195.84 m → S 50.118817°
W 20.132446°		 →
↑
195.84 m
↓
↑
195.84 m
↓
S 50.120578°
W 20.135193°		 ← 195.83 m →
38 353 m²		 S 50.120578°
W 20.132446°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 58205 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.444072723388672 y=0.661373138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.444072723388672 × 217)
    floor (0.444072723388672 × 131072)
    floor (58205.5)     		tx = 58205
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661373138427734 × 217)
    floor (0.661373138427734 × 131072)
    floor (86687.5)     		ty = 86687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 58205 / 86687 ti = "17/58205/86687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/58205/86687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 58205 ÷ 217
    58205 ÷ 131072     		x = 0.444068908691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86687 ÷ 217
    86687 ÷ 131072     		y = 0.661369323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.444068908691406 × 2 - 1) × π
    -0.111862182617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.35142541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.661369323730469 × 2 - 1) × π
    -0.322738647460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.01391336386381
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.35142541} λ = -0.35142541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01391336386381))-π/2
    2×atan(0.362796443444535)-π/2
    2×0.34802897623147-π/2
    0.69605795246294-1.57079632675     		φ = -0.87473837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.35142541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -20.135193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87473837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.118817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 58205 KachelY 86687 -0.35142541 -0.87473837 -20.135193 -50.118817
    Oben rechts KachelX + 1 58206 KachelY 86687 -0.35137747 -0.87473837 -20.132446 -50.118817
    Unten links KachelX 58205 KachelY + 1 86688 -0.35142541 -0.87476911 -20.135193 -50.120578
    Unten rechts KachelX + 1 58206 KachelY + 1 86688 -0.35137747 -0.87476911 -20.132446 -50.120578
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87473837--0.87476911) × R
    3.07400000000291e-05 × 6371000     		dl = 195.844540000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87473837--0.87476911) × R
    3.07400000000291e-05 × 6371000     		dr = 195.844540000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.35142541--0.35137747) × cos(-0.87473837) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641197648629324 × 6371000     		do = 195.838266318743m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.35142541--0.35137747) × cos(-0.87476911) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.641174059195149 × 6371000     		du = 195.831061498354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87473837)-sin(-0.87476911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.641197648629324-0.641174059195149)×R²
    abs(-0.35137747--0.35142541)×2.35894341754639e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35894341754639e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35894341754639e-05×40589641000000     		ar = 38353.1496722618m²